Szereg Fouriera

[matzo]

Na przedziale \(\displaystyle{ \left[− \pi , \pi \right] }\) wyznaczyć szeregi Fouriera funkcji:

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \cos \left( \frac{3}{x} \right)}\)

funkcja jest parzysta więc liczymy tylko a0 i an...
o ile a0 da się normarcln ie policzyć to an, a dokładniej całka:

\(\displaystyle{ \int \cos (\frac{x}{3}) \cos (n x) , dx}\)

jest dla mnie niepoliczarcln a w żaden znany mi sposób (nie licząc wolframa), ponieważ na tego typu zadania mam oko 2-4 min .

Więc jak inaczej mogę wyznaczyć ten szereg ?

[yorgin]

Nie potrafisz dwukrotnie całkować przez części?

[miodzio1988]

Można łatwiej, są wzory na takie iloczyny

[matzo]

nie zrobię tego w 2 min przez części

a gdzie znajdę wzory ?

[miodzio1988]

Moja metoda zatem się kłania

Na wiki

[matzo]

czyli mam to jakość wzorem Eulera zrobić ?

[miodzio1988]

Nie. Masz odpowiednie tożsamości trygonometryczne, poszukaj ich

[matzo]

Ok, już wiem: " Iloczyn w postaci sumy " dzięki.

[yorgin]

nie zrobię tego w 2 min przez części

a gdzie znajdę wzory ?

Przepraszam więc bardzo, ale trzeba być niezrównoważonym na umyśle, by dawać zadanie na rozwijanie w szereg Fouriera na czas.

[matzo]

Jeszcze mamy robić Fouriera z funkcji typu \(\displaystyle{ (\sin x) ^{3}}\) i mamy na nie jakiś mega szybki sposób z przekształcaniem na Eulera, że rozpisujemy sinus ze wzorów na \(\displaystyle{ e^{ix}}\) i na zajęciach wyszło, że owe \(\displaystyle{ (\sin x) ^{3}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4} (3 \cdot \sin x - \sin 3x)}\), wykładowca mówił że na podstawie tego możemy sobie wywoskować współczynnik \(\displaystyle{ b_n}\) (bo funkcja jest nieparzysta więc \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_n}\) odpada).

Tyle że nie za bardzo wiem jak mam "wpadać" na takie rozwiązania... jakieś sugestie ?
przy czym interesowało by mnie, czy też w taki sposób mógłbym dojść do tego ile wynosi Fourier dla \(\displaystyle{ x \cdot \sin (x)}\) ?

[yorgin]

Jeszcze mamy robić Fouriera z funkcji typu \(\displaystyle{ (\sin x) ^{3}}\) i mamy na nie jakiś mega szybki sposób z przekształcaniem na Eulera, że rozpisujemy sinus ze wzorów na e^ix i na zajęciach wyszło, że owe \(\displaystyle{ (\sin x) ^{3}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4} (3*\sin x - (\sin x) ^{2})}\), wykładowca mówił że na podstawie tego możemy sobie wywoskować współczynnik bn (bo funkcja jest nieparzysta więc a0 i an odpada).

Chciałbym zobaczyć tego wykładowcę, co dokładnie ma na myśli przez wnioskowanie o współczynnikach \(\displaystyle{ b_n}\).

Tyle że nie za bardzo wiem jak mam "wpadać" na takie rozwiązania... jakieś sugestie ?
przy czym interesowało by mnie, czy też w taki sposób mógłbym dojść do tego ile wynosi Fourier dla x*sin(x) ?

Główne sugestie to parzystość/nieparzystość funkcji, którą rozwijamy. I przydaje się bardzo znajomość wzorów na iloczyn sinusów/cosinusów we wszelkich kombinacjach, tzn

\(\displaystyle{ \sin x\sin y=\ldots\\
\sin x\cos y=\ldots\\
\cos x\cos y=\ldots}\)

w postaci sumy.

[matzo]

sorry miało być: \(\displaystyle{ \frac{1}{4} (3\sin x - \sin 3x)}\) (to jest w miarę oczywiste dla mnie skąd się wzięło) i podobno to jest już szereg furiera (to już mniej jasne - czy aby na pewno jakakolwiek funkcja trygonometryczna rozpisana z Eulera dawała szereg Fouriera ?, bo tak to zrozumiałem),

Powiedziano nam również (o czym zapomniełem wspomnieć), że:
\(\displaystyle{ b _{1}= \frac{3}{4}}\), \(\displaystyle{ b _{3}= \frac{-1}{4}}\) a pozostałe wyrazy równają się zero

i to jest metoda jaką mamy to liczyć.

[yorgin]

Jeżeli funkcja jest wielomianem trygonometrycznym, to jest też swoim szeregiem Fouriera.

Także wyrażenie

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}(3\sin x-\sin 3x)}\)

jest już rozwinięciem w szereg Fouriera. Taka ciekawa własność. Działa dla dowolnego wielomianu trygonometrycznego.