Matematyka.pl

Skończony łańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracający, więc szukany łańcuch ma przynajmniej dwa stany chwilowe. Łańcuch, który podałeś ma dokładnie jeden stan powracający i dwa chwilowe, więc jest minimalny ze względu na liczbę stanów, czyli OK.

Z tych definicji nie widzę konieczności istnienia stanów przejściowych. Weźmy np. łańcuch z dwoma stanami i macierzą przejścia \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} . Wówczas oba stany są powracające i należą do różnych klas. Stany, więc również klasy, chwilowe musiałyby istnieć, gdybyśmy dod...

Losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \{1\ldots 8\}}\)

Dla \(\displaystyle{ L>P}\):

\(\displaystyle{ A}\) liczba nieparzysta
\(\displaystyle{ B}\) liczba większa niż \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ C}\) liczba niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

Dla \(\displaystyle{ P>L}\):

\(\displaystyle{ A}\) liczba parzysta
\(\displaystyle{ B}\) liczba nie większa niż \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ C}\) liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

13. S sfera, o której mowa w zadaniu, czyli opisana na czworościanie KLMN . Przypuśćmy, że punkt O leży na zewnątrz czworościanu KLMN , czyli punkty K,L,M,N leżą na pewnej półsferze, czyli po jednej stronie pewnej płaszczyzny \pi przechodzącej przez O . Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że ...

Można dokończyć tak: 1. \:\:\: x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) gdzie \varepsilon=\exp\left(\frac{2\pi i}3\right) skąd po podstawieniu w 1. x:=\frac{d}{c\sqrt[3]2} i pomnożeniu otrzymanej równości przez 2c^3 : d^3-2c^3=\left(d-c\sqrt[3]2\right)\left(d^2+cd\sqrt[3]2+c^2\sqrt[3]4\right) . Z drugiej strony, na moc...

Pewnie czegoś tu nie rozumiem. Rozważmy pierścień (przemiennych) wielomianów Laurenta dwóch zmiennych \mathbb{Z}[x,y,(xy)^{-1}] . Pierścień ten podrasujemy elementami, x^{\infty} , y^{\infty} , na które rozszerzamy mnożenie (przemiennie) według: x^iy^j\cdot x^{\infty}=x^{\infty}y^j, x^{i}y^{j}\cdot ...

to jest niepoprawnie, kwadraty liczb nieparzystych modulo 3 dają reszty 0 i 1 więc tamto wyrażenie może dawać dowolną resztę być może trzeba zmienić modulo niestety modulo 2 otrzymana macierz jest nieodwracalna może modulo 4 lub 8? ale wtedy argument nie przejdzie bo mamy macierz nie nad ciałem Aj,...

Nie wiem, czy wrócę to tego zadania, więc wypisuję kilka spostrzeżeń. 1. Funkcje stałe spełniają założenie/tezę. 2. Kombinacje liniowe funkcji spełniających założenie/tezę również spełniają założenie/tezę. 3. Jeśli t>0 i f spełnia założenie/tezę, to g(x)=f(tx) również spełnia założenie/tezę. Skalują...

Weźmy element należący do 1 +I , czyli postaci 1 + i dla i\in I . Wtedy isntnieje n\in\mathbb{N} takie, że i^n=(-i)^n=0 skad (1+i)(1-i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1})=1-(-i)^n=1 . Przy okazji widzimy, że (1+i)^{-1}\in 1+I , bo -i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1}\in I . Pozostaje wykazać, że zbiór 1+I jest zamkn...

Szukane punkty (niezależnie od wartości \alpha ) to punkty P,Q przecięcia okręgów O(A,|AB|), O(B,|AB|) (o środkach w punktach A,B i promieniu |AB| ), czyli takie P,Q ,że trójkąty ABP , ABQ są równoboczne. Po pierwsze |Xf_A(X)|=|Xf_B(X)| , czyli X jest równooddalony od A i B , zatem leży na symetraln...

Strategia B : 2,5,6,10,12,3,13,4,14,24,20,8 to znaczy po odjęciu 20 otrzymana liczba jest podzielna przez 8 , a nawet przez 24 . Żeby to zobaczyć, zakładamy, że gra toczyła się do 20 i kontrolujemy możliwe reszty modulo 2,3,4,6,8 : 2: 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0 3: *,*,*,*,*,2,0,1,0,0,0 4: *,*,*,*,*,*,*,2...

Nie wprost. Niech jeden z tych punktów to (0,0) a pozostałe to a_1,a_2,a_3 . Zauważmy, że jeśli i\neq j , to 2\langle a_i,a_j\rangle=|a_i|^2+|a_j|^2-|a_i-a_j|^2 \equiv 1 \mbox{ mod }3 , bo z założenia liczby |a_i|^2, |a_j|^2,|a_i-a_j|^2 są kwadratami liczb nieparzystych. Zatem modulo 3 macierz całko...

Ten warunek oznacza, że dla każdych trzech wierzchołków v_1,v_2,v_3 istnieją w grafie co najmniej dwie krawędzie spośród trzech możliwych (v_i,v_j) . Zauważ, że to oznacza, że każdy wierzchołek danego grafu jest połączony krawędzią z każdym innym poza co najwyżej jednym. Dlatego łatwo zadanie rozwią...

Lemat: Niech S będzie okręgiem opisanym na pewnych trzech wierzchołkach A,B,C wielokąta wypukłego. Wówczas istnieją trzy kolejne wierzchołki tego wielokąta takie, że okrąg na nich opisany ma promień nie mniejszy od promienia okręgu S . Dowód lematu. Z wypukłości wielokąta wynika, że wierzchołki pomi...

Warto jeszcze dodać, że dla n losowo i niezależnie wybranych punktów na sferze w \mathbb R^d prawdopodobieństwo, że punkty te leżą na jednej półsferze wynosi \frac{\sum_{k=0}^{d-1}{n-1\choose k}}{2^{n-1}} ( d,n całkowite, dodatnie, ponadto jak zwykle przyjmujemy {i\choose j}=0 , gdy j>i\geq 0 całko...