Obrót z trójkątem

[mol_ksiazkowy]

Dane są różne punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Niech \(\displaystyle{ f_{P}}\) będzie obrotem płaszczyzny o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) względem punktu \(\displaystyle{ P}\). Dla jakich punktów \(\displaystyle{ X}\) trójkąt \(\displaystyle{ f_{A}(X) f_{B}(X)X}\) jest równoboczny ?

[bakala12]

Jedyny sensowny sposób na liczenie tego zadania to pała na zespolonych. Rachunki nie są tragiczne. Wyszły mi dwa punkty:
\(\displaystyle{ x_{i} = \frac{a\left(2 \varepsilon +2 - \varepsilon \varepsilon_{i} + \varepsilon_{i}\right)+b\left(-\varepsilon+1-2\varepsilon\varepsilon_{i} + 2\varepsilon_{i}\right)}{\varepsilon\varepsilon_{i}+1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ a,b}\) - liczby zespolone odpowiadające punktom \(\displaystyle{ A,B}\) na płaszczyznie
\(\displaystyle{ \varepsilon = \cos \alpha + i\sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_{i}}\) pierwiastki stopnia trzeciego z jedności (ale bierzemy tylko te dwa różne od jedynki).
Mam nadzieję, że nie ma pomyłki.

[mol_ksiazkowy]

A czy nie można by elementarnie...?

[hannahannah]

Szukane punkty (niezależnie od wartości \(\displaystyle{ \alpha}\)) to punkty \(\displaystyle{ P,Q}\) przecięcia okręgów \(\displaystyle{ O(A,|AB|), O(B,|AB|)}\) (o środkach w punktach \(\displaystyle{ A,B}\) i promieniu \(\displaystyle{ |AB|}\)), czyli takie \(\displaystyle{ P,Q}\),że trójkąty \(\displaystyle{ ABP}\), \(\displaystyle{ ABQ}\) są równoboczne. Po pierwsze \(\displaystyle{ |Xf_A(X)|=|Xf_B(X)|}\), czyli \(\displaystyle{ X}\) jest równooddalony od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), zatem leży na symetralnej \(\displaystyle{ AB}\). A po drugie jeśli \(\displaystyle{ X}\) leży na symetralnej to trójkąt \(\displaystyle{ Xf_A(X)f_B(X)}\) jest równoramienny i kąt pomiędzy jego (równymi) ramionami \(\displaystyle{ Xf_A(X), Xf_B(X)}\) to kąt pomiędzy okręgami \(\displaystyle{ O(A,|AX|), O(B,|BX|)}\) w ich punktach przecięcia a ten jest równy \(\displaystyle{ \frac{\pi} 3}\) wtedy i tylko wtady, gdy ich promienie są równe \(\displaystyle{ |AB|}\).