[MIX] Kartka z średniotrudnymi

[mol_ksiazkowy]

Mix - kartka z średniotrudnymi


1. Ile to jest \(\displaystyle{ \int \sqrt{1- \sin(2x)} dx}\) ?
2. Cząstka startuje z punktu zerowego. Niech \(\displaystyle{ S_n}\) będzie położeniem cząstki (tj. odległością od zera) po \(\displaystyle{ n}\) ruchach (cząstka z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) przesuwa się w prawo , a z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ q=1-p}\) w lewo o odcinek jednostkowy). Obliczyć \(\displaystyle{ E((\frac{p}{q})^{S_n})}\).
3. Wyznaczyć styczne do wykresu \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+3x^2}{3+x^2}}\) tak, by ich punkt wspólny oraz punkty styczności były wierzchołkami trójkąta prostokątnego
4. Udowodnić, że dowolny trójkąt Herona jest dany :
\(\displaystyle{ \begin{cases}a =u(v + \frac{1}{v}) \\ b= u(w+ \frac{1}{w}) \\c= u(v - \frac{1}{v}+ w - \frac{1}{w} ) \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u, v, w \in Q}\);
5. Udowodnić że równanie \(\displaystyle{ 3y^2=x^4+x}\) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych
6. Udowodnić, że dla dowolnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ n(n-1)^{(n-1)^n +1} +n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ ((n-1)^n +1)^2}\)
Czy podzielność ta jest także gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste ?
7. Dany jest zbiór słów: ciągów zero-jedynkowych ośmiowyrazowych. Niech \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą słowami różniącymi się trzema wyrazami. (tj. \(\displaystyle{ d(x, y)= | \{ j : x_j \neq y_j \} | = 3}\) ) Ile jest słów \(\displaystyle{ z}\) takich że \(\displaystyle{ d(x,z) \geq 5}\) i \(\displaystyle{ d(y,z) \geq 5}\) ?
Czy odpowiedź zależy od \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ?
8. Dany jest okrąg i prosta \(\displaystyle{ l}\) mająca z nim punkty wspólne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz jest punkt \(\displaystyle{ P \in l}\). Jak skonstruować prostą \(\displaystyle{ l}\), która ma z okręgiem punkty wspólne \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ B_1}\) aby \(\displaystyle{ AB_1 + BA_1}\) było możliwie największe ?
9. Czy istnieje wielościan, którego każdy przekrój jest trójkątem ?
10. Rozwiązać równanie (algebraicznie i graficznie)
\(\displaystyle{ \sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+13} - \sqrt{x+2}}\)
11. W zbiorze słów \(\displaystyle{ n}\) literowych zbudowanych z liter \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\) wzięte są te, które nie mają dwóch jedynek następujących po sobie. Udowodnić, że jest ich \(\displaystyle{ (\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}})(\sqrt{3}+1)^n}\) w zaokrągleniu do najbliższej liczby całkowitej.
12. Czy każdy graf który ma 10 wierzchołków i 10 krawędzi ma też cykl ?
13. Sfera o środku \(\displaystyle{ O}\) jest wpisana w czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) i styka się z jego ścianami w punktach \(\displaystyle{ K, L, M, N}\). Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ O}\) jest w czworościanie \(\displaystyle{ KLMN}\)
14. Rozwiązać równanie różniczkowe \(\displaystyle{ y^{\prime}= \frac{1}{xy(xy^2+1)}}\)
15. Niech \(\displaystyle{ A_n}\) będzie zbiorem wszystkich liczb w formie \(\displaystyle{ 1+ \frac{a_1}{\sqrt{2}} + \frac{a_2}{\sqrt{2}^2}+ …+ \frac{a_n}{\sqrt{2}^n}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_j \in \{ -1, 1 \}}\) dla \(\displaystyle{ j =1, …, n}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sum_{x , y \in A_n \ x \neq y} xy}\)
16. Usunąć tu niewymierność \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{4}}}\)
17. Wykazać nierówność \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \leq \int_{<0, 1>} \frac{dx}{\sqrt{2+x- x^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

[timon92]

9. Czy istnieje wielościan, którego każdy przekrój jest trójkątem ?

Ukryta treść:    

nie

wybierzmy sobie jakąś krawędź \(\displaystyle{ XY}\) i weźmy płaszczyznę która jest tak blisko krawędzi \(\displaystyle{ XY}\), że przecina wszystkie pozostałe krawędzie wychodzące z \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)

z każdego wierzchołka wychodzą przynajmniej 3 krawędzie, więc nasza płaszczyzna przecina co najmniej \(\displaystyle{ (3-1)+(3-1)=4}\) krawędzie, czyli przekrój jest wielokątem mającym przynajmniej 4 wierzchołki

[yorgin]

17:    

Dla \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ x-x^2\geq 0}\), więc

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2+x-x^2}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

i stąd wynika prawa nierówność.

Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ 2-x+x^2}\) osiąga w \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) maksimum równe \(\displaystyle{ \frac{9}{4}}\), stąd

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2-x+x^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4}}}=\frac{2}{3}}\).

A z powyższego już łatwo wynika lewa nierówność.

[Lbubsazob]

14. Rozwiązać równanie różniczkowe \(\displaystyle{ y^{\prime}= \frac{1}{xy(xy^2+1)}}\)

Ukryta treść:    

Założenie \(\displaystyle{ x,y\neq 0}\).
Odwracamy zmienne i mamy równanie \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}y}=xy(xy^2+1)}\).
Dzielimy przez \(\displaystyle{ y^2}\), zostaje \(\displaystyle{ \frac{1}{y^2}\frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}y}= \frac{x}{y}\left( x+ \frac{1}{y^2} \right)}\).
Stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ t= \frac{x}{y}, \ x=ty, \ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}y}=t+y\frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}y}}\).
\(\displaystyle{ \frac{1}{y^2}\left( t+y\frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}y}\right) =t\left( ty+ \frac{1}{y^2} \right)}\)
Po wymnożeniu i redukcji zostaje \(\displaystyle{ \frac{1}{y}\frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}y} =t^2y}\).
Mnożymy przez \(\displaystyle{ y}\) i mamy równanie o zmiennych rozdzielonych.

Jeśli coś jest źle, to dajcie znać.

[yorgin]

Lbubsazob,

Komentarz:    

Ciekawe podejście. Na pierwszy rzut zmęczonego już oka wygląda to ok. Ja zrobiłem zupełnie inaczej...

14 inaczej:    

Odwracając strony mamy

\(\displaystyle{ x'-xy-x^2y^3=0}\)

Jest to równanie Bernoulliego, niech więc \(\displaystyle{ z=x^{-1}}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ z'=-\frac{x'}{x^2}}\). Dzielimy równanie przez \(\displaystyle{ x^2}\) i podstawiamy:

\(\displaystyle{ -z'-zy-y^3=0}\)

\(\displaystyle{ z'+zy=-y^3}\)

Równanie jest liniowe, czynnik całkujący to \(\displaystyle{ e^{\frac{y^2}{2}}}\), skąd

\(\displaystyle{ (ze^{\frac{y^2}{2}})'=-y^3e^{\frac{y^2}{2}}}\)

\(\displaystyle{ ze^{\frac{y^2}{2}}=-e^{\frac{y^2}{2}}(y^2-2)+C}\)

\(\displaystyle{ x=-\frac{e^{\frac{y^2}{2}}}{C+(y^2-2)e^{\frac{y^2}{2}}}}\)

Edit: pomijam czynione założenia, to nużąca i nudna analiza (choć ważna).

[Pinionrzek]

6.

Ukryta treść:    

Z lifting the exponent lemma mamy, że \(\displaystyle{ v_n((n-1)^n+1)=2}\)Zauważmy więc, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p|(n-1)^n+1}\)mamy \(\displaystyle{ v_p((n-1)^{(n-1)^n+1})=v_p((n-1)^n+1)+v_p((n-1)^n+1)-v_p(n)=2v_p((n-1)^n+1)-v_p(n)}\), skąd otrzymujemy tezę. Jeśli chodzi o liczby parzyste, to zauważmy, że dla \(\displaystyle{ n=4}\), dostajemy sprzeczność, gdyż ta mniejsza liczba dzieli się przez \(\displaystyle{ 41}\), a duża nie.

[Lbubsazob]

1. Ile to jest \(\displaystyle{ \int \sqrt{1- \sin(2x)} dx}\) ?

Ukryta treść:    

Podstawienie za pierwiastek: \(\displaystyle{ t=\sqrt{1-\sin 2x}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}\arcsin(1-t^2), \ \mbox{d}x = \frac{-t}{ \sqrt{2t^2-t^4} } \mbox{d}t}\).
Mamy zatem całkę \(\displaystyle{ -\int \frac{t^2}{ \sqrt{2t^2-t^4} } \mbox{d}t=-\int \frac{t^2}{t \sqrt{2-t^2} } \mbox{d}t}\) (bo \(\displaystyle{ t>0}\)).
Podstawienie \(\displaystyle{ u=2-t^2, \ \mbox{d}u=-2t \mbox{d}t}\) i dostajemy \(\displaystyle{ \sqrt{u}+C=\sqrt{2-t^2}+C=\sqrt{1+\sin 2x}+C}\).

yorgin, dzięki za komentarz.

[Premislav]

1. inne rozwiązanie:    

zauważmy, że \(\displaystyle{ 1-\sin 2x=\sin^{2}x-2\sin x\cos x+\cos^{2}x}\), a więc
\(\displaystyle{ \sqrt{1- \sin(2x)}=\left| \sin x-\cos x\right|=\left| \sin x-\sin\left( \frac{\pi}{2} -x \right)\right|=2\left| \sin \left(x- \frac{\pi}{4} \right)\cos \frac{\pi}{4} \right|=\\= \sqrt{2}\left| \sin \left(x- \frac{\pi}{4} \right)\right|}\).
Tak więc
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1- \sin(2x)} dx= \sqrt{2} \int_{}^{}\left| \sin \left(x- \frac{\pi}{4} \right)\right|dx=\\=-\sqrt{2}sgn \left[\sin \left(x- \frac{\pi}{4} \right)\right]\cos\left(x- \frac{\pi}{4} \right)+C}\)
Ciekawe, jak bardzo jest to błędne.

-- 18 wrz 2015, o 22:32 --

2. na pałę:    

W \(\displaystyle{ n}\) ruchach wystąpić mogło oczywiście \(\displaystyle{ k}\) ruchów w prawo i \(\displaystyle{ n-k}\) ruchów w lewo dla \(\displaystyle{ k=0,...n}\). Wtedy jest \(\displaystyle{ \mathbb{P}(S_{n}=2k-n)={n\choose k}p^{k}q^{n-k}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,...n}\). No i rzecz jasna \(\displaystyle{ \mathbb{P}(S_{n}=2k-n)=\mathbb{P}\left( \left(\frac{p}{q}\right)^{S_{n}}= \left(\frac{p}{q}\right)^{2k-n}\right)}\). Czyli zostaje do policzenia \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}p^{k}q^{n-k}\left(\frac{p}{q}\right)^{2k-n}= \left( \frac{q^{2}}{p}\right )^{n}\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\left( \frac{p^{3}}{q^{3}}\right)^{k}=\left( \frac{q^{2}}{p}\right )^{n}\left(1+ \frac{p^{3}}{q^{3}} \right)^{n}}\) i dajcie mi spokój z jakimiś algebraicznymi przekształceniami, bo leci Kill Bill dwójka. Ostatnia równość wprost ze wzoru dwumianowego Newtona.
Jest tu jakieś ładne rozwiązanie? Może rekurencyjka na \(\displaystyle{ S_{n}}\)? A może warunkowa wartość oczekiwana, czy cuś?

-- 19 wrz 2015, o 10:31 --

16. na ultrapałę:    

Najpierw skorzystajmy z tożsamości \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)\left( \frac{1}{2} (a-b)^{2}+ \frac{1}{2} (b-c)^{2}+ \frac{1}{2} (c-a)^{2}\right)}\)
dla \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{2},b= \sqrt[3]{3},c= \sqrt[3]{4}}\), tj. mnożymy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( ( \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3} )^{2}+( \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{4} )^{2}+ ( \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} )^{2}\right)}\) i dostajemy w mianowniku \(\displaystyle{ 2+3+4-3 \sqrt[3]{24}=9-3 \sqrt[3]{24}}\), następnie korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}\) dla \(\displaystyle{ x=9,y=3\sqrt[3]{24}}\), tj. wymnażamy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 81+27\sqrt[3]{24}+9\sqrt[3]{576}}\) - dostajemy więc \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}\left( ( \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3} )^{2}+( \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{4} )^{2}+ ( \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} )^{2}\right)\left(81+27\sqrt[3]{24}+9\sqrt[3]{576} \right)}{3^{6}-3^{3}\cdot 24}}\) i zabijcie mnie, ale nie chce mi się tego upraszczać.

[arek1357]

Zadanie jedenaste:(11)

Ukryta treść:    

Jak wykazałem ilość wyrazów w których nie występują dwie jedynki pod rząd, czyli ilość ciągów binarnych
złożonych z zer i jedynek, gdzie jedynka nie występuje pod rząd wynosi:

(*) \(\displaystyle{ a_{n+2,k+1}=a_{n+1,k+1}+a_{n,k}}\) dla: \(\displaystyle{ 0\le k \le n ,n \ge 1}\)

z warunkami brzegowymi:

\(\displaystyle{ a_{n,0}=1 , a_{n,1}=n}\)

\(\displaystyle{ a_{2k,k}=k+1 , a_{2k+1,k+1}=1}\)

\(\displaystyle{ a_{2k,s}=0}\) , dla:\(\displaystyle{ s>k}\)

\(\displaystyle{ a_{2k+1,s}=0}\) , dla:\(\displaystyle{ s>k+1}\)

Ale należy pamiętać, że tam zamiast zer są dwójki i trójki co mnoży możliwości.

czyli jeżeli:

\(\displaystyle{ a_{n,k}}\) ilość wyrazów o długości n w których jedynka nie występuje podwójnie,
i jedynek jest k

To jeśli zamiast zer dołożymy dwójki i trójki to wyrazów będzie:

\(\displaystyle{ 2^{n-k} \cdot a_{n,k}}\) ale tylko dla k jedynek.

jeśli zmieniamy k czyli ilość jedynek dołożyć musimy sumę, czyli ilość takich wyrazów łącznie będzie:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{} 2^{n-i} \cdot a_{n,i}}\)

mamy udowodnić ,że:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{} 2^{n-i} \cdot a_{n,i}=( \frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{3} })( \sqrt{3}+1 )^n}\) to znaczy chodzi o to w jaką liczbę całkowitą wleci wynik ale mój zapis upraszcza formalności

sprawdźmy dla\(\displaystyle{ n=1}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{}a_{1,i}2^{1-i}=a_{1,0} \cdot 2+a_{1,1}=2+1=3}\)

prawa strona:

\(\displaystyle{ =( \frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{3} })( \sqrt{3}+1 ) \approx 2,94=3}\) zgodnie z zadaniem

sprawdzałem dla n=2,3 i się też zgadza,

Napiszmy więc tezę indukcyjną i skorzystajmy z(*) oraz założeń indukcyjnych:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{}a_{n+1,i}2^{n+1-i}= 2\sum_{i=0}^{}2^{n-i} (a_{n,i}+a_{n-1,i-1}) =}\)

\(\displaystyle{ 2\sum_{i=0}^{}2^{n-i} a_{n,i}+2\sum_{i=0}^{}2^{n-1-i}a_{n-1,i}=}\)

\(\displaystyle{ =2( \frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{3} })( \sqrt{3}+1 )^n+2( \frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{3} })( \sqrt{3}+1 )^{n-1}}\)

ale jak łatwo wykazać to ostatnie równa się:

\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}+ \frac{1}{ \sqrt{3} })( \sqrt{3}+1 )^{n+1}}\)

czyli cnd...

A tu podbijam temat: 395371.htm

W zadaniu (15)(zarys)

Ukryta treść:    

wystarczy zauważyć, że każdą taką liczbę można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ x_{k}= \sqrt{2}(1- \frac{1}{2^k})+(2- \frac{1}{2^{n+1-k}}) , k=0,...,n}\)

\(\displaystyle{ x_{l}= \sqrt{2}(1- \frac{1}{2^l})+(2- \frac{1}{2^{n+1-l}}) , l=0,...,n}\)

trzeba znaleźć sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{k,l ,k \neq l}^{}x_{k}x_{l}}\)

Zadanie siódme (7):

Ukryta treść:    

W zadaniu siódmym (7) wystarczy zauważyć, że słowa wraz z tak wprowadzoną miarą d to przestrzeń metryczna zbioru słów d to metryka.
I jeżeli ustalimy sobie jakiś punkt a (słowo) to zbiór tych ixów takich , że:

\(\displaystyle{ d(a,x)=3}\) to okrąg o promieniu trzy

\(\displaystyle{ d(a,x) \le 3}\) to kula o promieniu trzy

łatwo wyliczyć ilość elementów należących do okręgu o promieniu trzy wynosi:

\(\displaystyle{ {8 \choose 3}}\)

a do kuli o promieniu trzy wynosi:

\(\displaystyle{ 1+ {8 \choose 1} + {8 \choose 2} + {8 \choose 3}}\)

a wszystkich elementów jest \(\displaystyle{ 2^8=256}\)

Bawiąc się dalej można obliczyć ile jest elementów należących do zewnętrza kuli o promieniu np pięć ...

Zadanie (12)

Ukryta treść:    

Jest takie twierdzenie, które nam mówi:

Jeżeli najmniejszy stopień wierzchołka w grafie G jest nie mniejszy niż 2, to graf G zawiera cykl.

a w naszym zadaniu jest 10 krawędzi i dziesięć wierzchołków czyli przynajmniej jeden wierzchołek musi mieć dwie krawędzie a więc zgodnie z twierdzeniem posiada cykl!

[mol_ksiazkowy]

15 cd; Jako problem 75 z Nierozwiązanych

wystarczy zauważyć, że każdą taką liczbę można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ x_{k}= \sqrt{2}(1- \frac{1}{2^k})+(2- \frac{1}{2^{n+1-k}}) , k=0,...,n}\)

\(\displaystyle{ x_{l}= \sqrt{2}(1- \frac{1}{2^l})+(2- \frac{1}{2^{n+1-l}}) , l=0,...,n}\)

trzeba znaleźć sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{k,l ,k \neq l}^{}x_{k}x_{l}}\)

tu niezby kumam, ale chyba w zadaniu najpierw trzeba udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) takich wyrażen ma \(\displaystyle{ 2^n}\) elementów.

[mol_ksiazkowy]

15 cd

Ukryta treść:    

Będzie to wynikać z tego , iż
\(\displaystyle{ x = \frac{b_1}{2^1} + …+ \frac{b_k}{2^k} \ gdzie \ b_j \in \{ -1, 1 \}}\) jest w formie \(\displaystyle{ \frac{a}{2^k}}\) gdzie \(\displaystyle{ |a| < 2^k}\) jest liczbą nieparzystą (i takze na odwrot- bijekcja).
Zbiór \(\displaystyle{ X}\) ma elementy \(\displaystyle{ 1+ \frac{a}{2^k}+ \frac{b\sqrt{2}}{2^k}}\) gdzie gdzie \(\displaystyle{ |a|, |b| < 2^k}\) to liczby nieparzystą. Gdzie \(\displaystyle{ n=2k}\); jeśli \(\displaystyle{ n=2k+1}\) to \(\displaystyle{ |a|, |b| < 2^{k+1}}\)

Tu jest luka w dowodzie...

Należy jeszcze obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{x \in X} x}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{x \in X} x^2}\) aby mieć wynik z:
\(\displaystyle{ \sum_{x, y \in X} xy = \frac{1}{2} ((\sum_{x \in X} x )^2 - \sum_{x \in X} x^2)}\)

-- 3 lipca 2016, 17:25 --Nierozwiazane są wciąz zadania:
3, 4, 5, 8, 10, 13 i 14

[kerajs]

3:    

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+3x^2}{3+x^2}=3- \frac{8}{x^2+3}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{16x}{(x^2+3)^2}}\)
Wyliczając ekstrema pochodnej stwierdzam że przyjmuje ona wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\), co sprawia że współczynniki kierunkowe stycznych prostopadłych (\(\displaystyle{ a, \frac{-1}{a}}\)) mogą przyjąć jedynie wartości 1 i -1. Jedyne możliwe styczne to \(\displaystyle{ y=x, y=-x}\)

8.
Tu chyba jest niepełna treść gdyż nie korzystamy z punktu P, a skoro najdłuższe odcinki miedzy punktami okręgu to średnice więc konstrukcja staje się zbyt trywialna.

14:    

\(\displaystyle{ y^{\prime}= \frac{1}{xy(xy^2+1)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ x^{\prime}}= \frac{1}{xy(xy^2+1)}}\)
co daje równanie Bernoulliego względem x(y):
\(\displaystyle{ x'- xy=x^2y^3\\
\frac{x'}{x^2}-y \frac{1}{x}=y^3 \\
t= \frac{-1}{x} \Rightarrow t'+yt=y^3}\)
co jest równaniem liniowym
Ostatecznie odwrotna całka ogólna to:
\(\displaystyle{ x= \frac{-1}{y^2-2+ \frac{K}{e ^{ \frac{y^2}{2} } } }}\)

[Mruczek]

Zadanie (12)

Jest takie twierdzenie, które nam mówi:

Jeżeli najmniejszy stopień wierzchołka w grafie G jest nie mniejszy niż 2, to graf G zawiera cykl.

a w naszym zadaniu jest 10 krawędzi i dziesięć wierzchołków czyli przynajmniej jeden wierzchołek musi mieć dwie krawędzie a więc zgodnie z twierdzeniem posiada cykl!

To rozwiązanie to ordynarny blef.
Twierdzenie owszem istnieje, ale ten graf nie spełnia warunków tego twierdzenia. Wystarczy wziąć drzewo o \(\displaystyle{ 10}\) wierzchołkach z jedną dodatkową krawędzią - wtedy to drzewo może mieć jakieś liście, czyli najmniejszy stopień wierzchołka to \(\displaystyle{ 1}\).

Poprawne rozwiązanie:
Nie wprost. Załóżmy, że ten graf nie ma cyklu - wtedy składa się z samych drzew. Jak wiadomo, drzewo o \(\displaystyle{ x}\) wierzchołkach ma \(\displaystyle{ x - 1}\) krawędzi.
Załóżmy, że graf składa się z \(\displaystyle{ n \ge 1}\) drzew, a \(\displaystyle{ x_{i}}\) to ilość wierzchołków \(\displaystyle{ i}\)-tego drzewa.
Wtedy \(\displaystyle{ x_{1}+ x_{2}+...+x _{n}=10}\)
Ten graf ma \(\displaystyle{ x_{1} - 1 + x_{2} - 1 + ... + x_{n} - 1 = x_{1}+ x_{2}+...+x _{n} - n =10 - n < 10}\) krawędzi, sprzeczność, czyli ten graf ma cykl, c.n.d.

[hannahannah]

13.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ S}\) sfera, o której mowa w zadaniu, czyli opisana na czworościanie \(\displaystyle{ KLMN}\). Przypuśćmy, że punkt \(\displaystyle{ O}\) leży na zewnątrz czworościanu \(\displaystyle{ KLMN}\), czyli punkty \(\displaystyle{ K,L,M,N}\) leżą na pewnej półsferze, czyli po jednej stronie pewnej płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącej przez \(\displaystyle{ O}\). Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ N}\) leżą po różnych stronach płaszczyzny rozpiętej na \(\displaystyle{ K,L,M}\). Płaszczyzny styczne do \(\displaystyle{ S}\) w punktach \(\displaystyle{ K,L,M}\) przecinają się w punkcie leżącym po tej samej stronie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), co punkty \(\displaystyle{ K,L,M,N}\). Wtedy jednak czworościan wycięty płaszczyznami stycznymi do \(\displaystyle{ S}\) w punktach \(\displaystyle{ K,L,M,N}\), czyli czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) również leży po jednej stronie \(\displaystyle{ \pi}\) co jest niemożliwe, bo sfera \(\displaystyle{ S}\) jest wpisana w czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\).