Matematyka.pl

Witajcie. Mam problem z udowodnieniem takich dwóch wzorów:
1. \sum_{k=0}^{p} ({n\choose k} \cdot {n-k\choose p-k}) = 2 ^{p} \cdot {n\choose p}

2. \sum_{k=0}^{n} [{n\choose k} \cdot k \cdot a ^{k} \cdot b ^{n-k}] = n \cdot a \cdot (a+b) ^{n-1}

Oba twierdzenia próbowałem udowodnić z indukcji, ale ...

Ale czy wtedy nie wykażę, że \(\displaystyle{ 2\pi}\) jest tylko okresem, a nie że jest okresem podstawowym?

Witajcie. Czy ktoś z Was umiałby udowodnić następującą tezę:

"Liczba \(\displaystyle{ 2\pi}\) jest okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \sin(2x) + \cos(3x)}\). "

Z góry dziękuję za wszelką pomoc .

niestety go nie mam :/

Witam. Poszukuję dowodu na to, że liczby (bez ostatniej) powstałe w tabelce ze schematu Hornera są współczynnikami wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) a ostatnia z liczb jest resztą \(\displaystyle{ R(x)}\), tak że \(\displaystyle{ W(x)=(x-a) \cdot Q(x)+R(x)}\). Z góry dziękuję za pomoc.

Witam. Od razu zaznaczam, że nie wiem czy to dobry dział, więc z góry przepraszam jeśli to ten zły.
Mam problem z takim zadankiem:
suma liczb (należących do zbioru liczb rzeczywistych nieujemnych) a_{i} dla i \in \lbrace 1,2,...,n \rbrace jest równa a . Wykaż, że a_{1} \cdot a_{2} + a_{2} \cdot a ...

No właśnie coś nie mogę znaleźć przyzwoitego dowodu . To byłbym wdzięczny za link, jeśli ktoś zna.

Witam. Czy mógłby mi ktoś pokazać dowód tej tożsamości w postaci: \(\displaystyle{ \forall a,b\in Z:\ \exists x,y\in Z:\ NWD(a,b)=x \cdot a+y \cdot b}\)

Tego się domyśliłem, tylko co dalej: delta musi być większa od zera i tyle? czy jeszcze miejsca zerowe przyrównywać albo coś innego?

Prosiłbym o pomoc, bo nie wiem jak się za to zabrać (nie licząc opcji rysowania wykresu). Zadanie:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x \cdot \left| x-1\right| = m+1}\) ma dwa różne rozwiązania?
Z góry dziękuję za pomoc.

Witam. Czy pomógłby mi ktoś z takim zadaniem: Znaleźć na krzywej o równaniu \(\displaystyle{ y = -x ^{2} -4x - 4}\) oraz na prostej \(\displaystyle{ x-y+3=0}\) takie punkty, których odległość od siebie jest najmniejsza.
Prosiłbym też, żeby rozwiązanie nie było z pochodnych (albo bardziej zaawansowanych rzeczy). Z góry dziękuję.

Bardzo dziękuję. Bez was bym nad tym jeszcze długo siedział.

Witam. Ostatnio na lekcji braliśmy tw. Cauchy'ego-Schwarza: \left( a^{2}_{1} + a^{2}_{2} + ... + a^{2}_{n} \right) \cdot \left( b^{2}_{1} + b^{2}_{2} + ... + b^{2}_{n} \right) \ge \left( a_{1} \cdot b _{1} + a _{2} \cdot b _{2} + ... + a _{n} \cdot b_{n} \right) ^{2} . Przy czym nauczyciel ...

Witam. Mam do udowodnienia następujące zadanie:
Udowodnij, że dla n i d należących do zbioru liczb naturalnych dodatnich dla których zachodzi fakt d\left| 2n^{2} \right suma n^{2} +d nie może być kwadratem liczby całkowitej.
Rozpocząłem dowód nie wprost: niech n^{2} +d = c^{2} ,gdzie c należy do ...