Dla jakiego parametru m są dwa różne rozwiązania

[Yuanic]

Prosiłbym o pomoc, bo nie wiem jak się za to zabrać (nie licząc opcji rysowania wykresu). Zadanie:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x \cdot \left| x-1\right| = m+1}\) ma dwa różne rozwiązania?
Z góry dziękuję za pomoc.

[mat_61]

Rozważ dwa przypadki:

1. \(\displaystyle{ x^2-x=m+1 \ dla \ x \ge 1}\)

2. \(\displaystyle{ -x^2+x=m+1 \ dla \ x<1}\)

[Yuanic]

Tego się domyśliłem, tylko co dalej: delta musi być większa od zera i tyle? czy jeszcze miejsca zerowe przyrównywać albo coś innego?

[major37]

tak musi tylko patrz czy pierwiastki zawierają się w danym założeniu

[piasek101]

Trochę nie tak.

1) może mieć jedno rozwiązanie z narzuconego przedziału lub dwa ale jedno z narzuconego przedziału

2) podobnie

Do tego przypadki :
1) dwa rozwiązania (z dziedziny) 2) brak rozwiązań

i na odwrót.

[mat_61]

Yuanic, warunki do rozwiązania dla poszczególnych przypadków (oznaczenia standardowe):

Przypadek 1.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ f(1) \ge 0 \\ \frac{-b}{2a}>1 \end{cases}}\)

Kolejne nierówności zapewniają, że (i) istnieją dwa różne pierwiastki, (ii) obydwa są po tej samej "stronie" jedynki, (iii) obydwa są większe od \(\displaystyle{ 1}\) (współrzędna \(\displaystyle{ x}\) wierzchołka jest "na prawo od jedynki") tzn. należą do rozpatrywanego przedziału.

Przypadek 2.

.................(?) zastanów się