Matematyka.pl

Proszę o podpowiedź:
Obliczyć objętość bryły ograniczonej równaniami: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2}\) i \(\displaystyle{ -z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\).
Czy mogę równoważnie zapisać: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1}\) i \(\displaystyle{ z \le 0}\) i tak to całkować?

Miejmy nadzieję, że tym razem mój post jest merytoryczny wystarczająco, bo ostatnio, jak zauważyłam, że bez sensu liczą tamtą granicę i że trzeba wiedzieć, co się liczy, to moderacja pozbyła się mojego posta.

Po pierwsze - równania niczego nie ograniczają
Po drugie - to co napisałaś ma dość malo sensu (oprócz uwag o moderatorach)
Po trzecie - symetria obrotowa tej bryły względem osi `z` aż kłuje w oczy. Wprowadź sobie standardową zmienną `r` i natychmiast zobaczysz co wyjdzie

No dobra to są dwie powierzchnie opisane równaniami. I te powierzchnie ograniczają tę bryłę.
Dobrze, że co do najważniejszego (moderacji) się zgadzamy, chociaż tyle XD

No i mi nie podpowiedziałeś, że z jest od minus jeden do zera a nie od minus nieskończoności.
Ano faktycznie, to coś może być symetryczne. No wiesz, my nie mieliśmy tych całek obrotowych symetrycznych, tylko na razie te zwykłe, ale pomyślałam sobie, że zrobię zadania na zapas i próbowałam to liczyć tak, jak się liczy zwykłe całki podwójne/potrójne jak np. całka z \(\displaystyle{ \cos (x+y)}\). Także ja nie do końca wiem, o co Ci chodzi, choć się domyślam.

Jak wstawię za \(\displaystyle{ x=r\sin \alpha}\) i \(\displaystyle{ y=r\cos \alpha}\) to wychodzi, żę \(\displaystyle{ -z=|r|}\) i po prostych przekształceniach wychodzi mi ograniczenie \(\displaystyle{ r^{2}=1}\). Domyślam się, że źle XD

W układzie `(r,z)` przekrój tej jednej powierzchni to rzeczywiście `-z=|r|`. Nie wiem jak z tego ci cokolwiek wyszło bez uwzględnienia drugiej powierzchni. Kartka i ołówek w takich przypadkach są najlepszym przyjacielem.

Zastanów się co się obraca wokół czego.

No właśnie uwzględniłam i tylko to mi wyszło z tego drugiego równania XD
Skoro sinusy i cosinusy najbardziej pasują do iksów i igreków, to myślę, że to się obraca wokół osi zetów. I funkcje trygonometryczne można dać odwrotnie i wyjdzie na to samo. Czyli że co? Mi to wygląda na walec.

Jeszcze raz powtórzę- narysuj to na płaszczyźnie `(r,z)`

Ale co ja mam zrobić i dlaczego? Jak biorę \(\displaystyle{ r}\) to wywalam \(\displaystyle{ z}\) i na odwrót? Chcesz bym zobaczyła, jak zmienia się \(\displaystyle{ z}\) w zależności od kąta i tego promienia?

Jak nie chcesz zrobić tego, co sugerowałem, to rusz wyobraźnią. Czym jest powierzchnia `x^2+y^2+z^2=2` ?

Toż to sfera...

arek1357 pisze: ↑29 gru 2022, o 13:29 Toż to sfera...

Geniusz...

No i jak ja udowodnię, że od samego początku wiedziałam, że to jest kółko 3D...
Ale to ostatecznie nie będzie kula, bo jeszcze na nią nakłada się to drugie.
Ale co ja mam narysować?! Ty powiedziałeś tylko narysuj to. To czyli co?

Jedno to `|r|=-z` a drugie to `z^2+r^2=2`

Dodano po 1 minucie 41 sekundach:

No i jak ja udowodnię, że od samego początku wiedziałam, że to jest kółko 3D...

Nie udowodnisz. Skoro widziałeś, że to jest sfera, to jakim cudem zobaczyłaś gdzieś walec?

No bo oryginalnie to była sfera, ale po obcięciu to nie wiadomo, czy nadal będzie sfera czy walec. Aaaa dobra. Ty mi chciałeś powiedzieć, że to będzie ćwiartka koła. I potem z tego, że ćwiartka sfery i że wystarczy zrobić całkę według pierwszej powierzchni i podzielić na cztery.

Oczywiście że nie. Przecież nie liczysz pola powierzchni tylko objętość bryły. Znasz wzór na objętość bryły obrotowej?

Dodano po 13 godzinach 19 minutach 56 sekundach:
To rzeczywiście jest ćwiartka pola ale to nie jest ćwiartka objętości (choćby dlatego, że na płaszczyżnie masz cztery kierunki: prawo, lewo, góra dół, a w przestrzeni jest jeszcze w przód i w tyl. I nie, to nie znaczy, że to będzie jedna szósta).

Jak obrócisz swój obrazek i 90 stopni w prawo, to zobaczysz, że szukana bryła powstaje przez obrót wykresu funkcji, na który to wykres składa się kawałek zieleni i kawałek fioletu. Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia granic całkowania dla każdego koloru.

A jak ruszysz wyobraźnią, to zobaczysz obrót zielonego kółka daje coś takiego: Obrót fioletów:
A oba te obrazki połączone razem dają Obliczyć objętość szukanej bryły może znaleźć licząc

\(\displaystyle{ \iint_{\blue{\text{koło ograniczone niebieskim okręgiem}}}(\magenta{z}-\green{z}) dxdy}\)

Niepokonana pisze: ↑27 gru 2022, o 02:41 Obliczyć objętość bryły ograniczonej równaniami: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2}\) i \(\displaystyle{ -z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\).

Te powierzchnie dzielą przestrzeń na cztery obszary, w tym dwa ograniczone. Dlatego natychmiast nasuwa się pytanie, o którą z tych ograniczonych brył chodzi: wewnątrz stożka czy na zewnątrz. Skoro w zadaniu nie jest to powiedziane, to pewnie trzeba obliczyć ich łączną objętość, czyli po prostu objętość kuli.