Objętość bryły - całka potrójna
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Objętość bryły - całka potrójna
Proszę o podpowiedź:
Obliczyć objętość bryły ograniczonej równaniami: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2}\) i \(\displaystyle{ -z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\).
Czy mogę równoważnie zapisać: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1}\) i \(\displaystyle{ z \le 0}\) i tak to całkować?
Miejmy nadzieję, że tym razem mój post jest merytoryczny wystarczająco, bo ostatnio, jak zauważyłam, że bez sensu liczą tamtą granicę i że trzeba wiedzieć, co się liczy, to moderacja pozbyła się mojego posta.
Obliczyć objętość bryły ograniczonej równaniami: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2}\) i \(\displaystyle{ -z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\).
Czy mogę równoważnie zapisać: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1}\) i \(\displaystyle{ z \le 0}\) i tak to całkować?
Miejmy nadzieję, że tym razem mój post jest merytoryczny wystarczająco, bo ostatnio, jak zauważyłam, że bez sensu liczą tamtą granicę i że trzeba wiedzieć, co się liczy, to moderacja pozbyła się mojego posta.
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
Po pierwsze - równania niczego nie ograniczają
Po drugie - to co napisałaś ma dość malo sensu (oprócz uwag o moderatorach)
Po trzecie - symetria obrotowa tej bryły względem osi `z` aż kłuje w oczy. Wprowadź sobie standardową zmienną `r` i natychmiast zobaczysz co wyjdzie
Po drugie - to co napisałaś ma dość malo sensu (oprócz uwag o moderatorach)
Po trzecie - symetria obrotowa tej bryły względem osi `z` aż kłuje w oczy. Wprowadź sobie standardową zmienną `r` i natychmiast zobaczysz co wyjdzie
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
No dobra to są dwie powierzchnie opisane równaniami. I te powierzchnie ograniczają tę bryłę.
Dobrze, że co do najważniejszego (moderacji) się zgadzamy, chociaż tyle XD
No i mi nie podpowiedziałeś, że z jest od minus jeden do zera a nie od minus nieskończoności.
Ano faktycznie, to coś może być symetryczne. No wiesz, my nie mieliśmy tych całek obrotowych symetrycznych, tylko na razie te zwykłe, ale pomyślałam sobie, że zrobię zadania na zapas i próbowałam to liczyć tak, jak się liczy zwykłe całki podwójne/potrójne jak np. całka z \(\displaystyle{ \cos (x+y)}\). Także ja nie do końca wiem, o co Ci chodzi, choć się domyślam.
Jak wstawię za \(\displaystyle{ x=r\sin \alpha}\) i \(\displaystyle{ y=r\cos \alpha}\) to wychodzi, żę \(\displaystyle{ -z=|r|}\) i po prostych przekształceniach wychodzi mi ograniczenie \(\displaystyle{ r^{2}=1}\). Domyślam się, że źle XD
Dobrze, że co do najważniejszego (moderacji) się zgadzamy, chociaż tyle XD
No i mi nie podpowiedziałeś, że z jest od minus jeden do zera a nie od minus nieskończoności.
Ano faktycznie, to coś może być symetryczne. No wiesz, my nie mieliśmy tych całek obrotowych symetrycznych, tylko na razie te zwykłe, ale pomyślałam sobie, że zrobię zadania na zapas i próbowałam to liczyć tak, jak się liczy zwykłe całki podwójne/potrójne jak np. całka z \(\displaystyle{ \cos (x+y)}\). Także ja nie do końca wiem, o co Ci chodzi, choć się domyślam.
Jak wstawię za \(\displaystyle{ x=r\sin \alpha}\) i \(\displaystyle{ y=r\cos \alpha}\) to wychodzi, żę \(\displaystyle{ -z=|r|}\) i po prostych przekształceniach wychodzi mi ograniczenie \(\displaystyle{ r^{2}=1}\). Domyślam się, że źle XD
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
W układzie `(r,z)` przekrój tej jednej powierzchni to rzeczywiście `-z=|r|`. Nie wiem jak z tego ci cokolwiek wyszło bez uwzględnienia drugiej powierzchni. Kartka i ołówek w takich przypadkach są najlepszym przyjacielem.
Zastanów się co się obraca wokół czego.
Zastanów się co się obraca wokół czego.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
No właśnie uwzględniłam i tylko to mi wyszło z tego drugiego równania XD
Skoro sinusy i cosinusy najbardziej pasują do iksów i igreków, to myślę, że to się obraca wokół osi zetów. I funkcje trygonometryczne można dać odwrotnie i wyjdzie na to samo. Czyli że co? Mi to wygląda na walec.
Skoro sinusy i cosinusy najbardziej pasują do iksów i igreków, to myślę, że to się obraca wokół osi zetów. I funkcje trygonometryczne można dać odwrotnie i wyjdzie na to samo. Czyli że co? Mi to wygląda na walec.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
Ale co ja mam zrobić i dlaczego? Jak biorę \(\displaystyle{ r}\) to wywalam \(\displaystyle{ z}\) i na odwrót? Chcesz bym zobaczyła, jak zmienia się \(\displaystyle{ z}\) w zależności od kąta i tego promienia?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
No i jak ja udowodnię, że od samego początku wiedziałam, że to jest kółko 3D...
Ale to ostatecznie nie będzie kula, bo jeszcze na nią nakłada się to drugie.
Ale co ja mam narysować?! Ty powiedziałeś tylko narysuj to. To czyli co?
Ale to ostatecznie nie będzie kula, bo jeszcze na nią nakłada się to drugie.
Ale co ja mam narysować?! Ty powiedziałeś tylko narysuj to. To czyli co?
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
Jedno to `|r|=-z` a drugie to `z^2+r^2=2`
Dodano po 1 minucie 41 sekundach:
Dodano po 1 minucie 41 sekundach:
Nie udowodnisz. Skoro widziałeś, że to jest sfera, to jakim cudem zobaczyłaś gdzieś walec?No i jak ja udowodnię, że od samego początku wiedziałam, że to jest kółko 3D...
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
No bo oryginalnie to była sfera, ale po obcięciu to nie wiadomo, czy nadal będzie sfera czy walec.
Aaaa dobra. Ty mi chciałeś powiedzieć, że to będzie ćwiartka koła. I potem z tego, że ćwiartka sfery i że wystarczy zrobić całkę według pierwszej powierzchni i podzielić na cztery.
Ostatnio zmieniony 31 gru 2022, o 20:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Teraz nie linkujemy zdjęć, tylko załączamy jako załączniki.
Powód: Teraz nie linkujemy zdjęć, tylko załączamy jako załączniki.
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
Oczywiście że nie. Przecież nie liczysz pola powierzchni tylko objętość bryły. Znasz wzór na objętość bryły obrotowej?
Dodano po 13 godzinach 19 minutach 56 sekundach:
To rzeczywiście jest ćwiartka pola ale to nie jest ćwiartka objętości (choćby dlatego, że na płaszczyżnie masz cztery kierunki: prawo, lewo, góra dół, a w przestrzeni jest jeszcze w przód i w tyl. I nie, to nie znaczy, że to będzie jedna szósta).
Jak obrócisz swój obrazek i 90 stopni w prawo, to zobaczysz, że szukana bryła powstaje przez obrót wykresu funkcji, na który to wykres składa się kawałek zieleni i kawałek fioletu. Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia granic całkowania dla każdego koloru.
A jak ruszysz wyobraźnią, to zobaczysz obrót zielonego kółka daje coś takiego: Obrót fioletów:
A oba te obrazki połączone razem dają Obliczyć objętość szukanej bryły może znaleźć licząc
\(\displaystyle{ \iint_{\blue{\text{koło ograniczone niebieskim okręgiem}}}(\magenta{z}-\green{z}) dxdy}\)
Dodano po 13 godzinach 19 minutach 56 sekundach:
To rzeczywiście jest ćwiartka pola ale to nie jest ćwiartka objętości (choćby dlatego, że na płaszczyżnie masz cztery kierunki: prawo, lewo, góra dół, a w przestrzeni jest jeszcze w przód i w tyl. I nie, to nie znaczy, że to będzie jedna szósta).
Jak obrócisz swój obrazek i 90 stopni w prawo, to zobaczysz, że szukana bryła powstaje przez obrót wykresu funkcji, na który to wykres składa się kawałek zieleni i kawałek fioletu. Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia granic całkowania dla każdego koloru.
A jak ruszysz wyobraźnią, to zobaczysz obrót zielonego kółka daje coś takiego: Obrót fioletów:
A oba te obrazki połączone razem dają Obliczyć objętość szukanej bryły może znaleźć licząc
\(\displaystyle{ \iint_{\blue{\text{koło ograniczone niebieskim okręgiem}}}(\magenta{z}-\green{z}) dxdy}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Objętość bryły - całka potrójna
Te powierzchnie dzielą przestrzeń na cztery obszary, w tym dwa ograniczone. Dlatego natychmiast nasuwa się pytanie, o którą z tych ograniczonych brył chodzi: wewnątrz stożka czy na zewnątrz. Skoro w zadaniu nie jest to powiedziane, to pewnie trzeba obliczyć ich łączną objętość, czyli po prostu objętość kuli.Niepokonana pisze: ↑27 gru 2022, o 02:41 Obliczyć objętość bryły ograniczonej równaniami: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2}\) i \(\displaystyle{ -z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\).