Przecież wiem co mówiłem chodziło mi o zbieżność początkowego ciągu w postaci rekurencji gdzie nie było mowy o ilorazie kolejnych fibonaccich w końcu wiem o co mi biegało a różnica między twoim przedstawieniem a moim różniła się o przesunięcie w indeksach o jeden...Oj, Arku.... Przecież napisałeś trochę wcześniej
Granica ciągu rekurencyjnego
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Granica ciągu rekurencyjnego
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 28 lip 2022, o 16:25
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 11 razy
Re: Granica ciągu rekurencyjnego
Hej, wiem że już trochę czasu minęło, ale nie miałem pojęcia że post ten tak wybuchł w odpowiedziach, więc podzielę się tym jak moim zdaniem najłatwiej to zrobić, musimy znaleźć tylko dwa podciągi, dokładniej jeden dla parzystych, drugi dla nieparzystych wyrazów ciągu, oba są monotoniczne i zbiegają do granicy podanej wcześniej, więc nasz cały ciąg także do niej zbiega, dziękuję serdecznie wszystkim za pomoc
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Re: Granica ciągu rekurencyjnego
Przyda mi się to do mojego innego zadania, ale chciałbym zapytać, czemu to jest legalne? Czy tu chodzi o prostą arytmetykę granic? Rozumiem, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty}a_{n}}\) i że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_{n}+1}=\frac{\lim_{n\to \infty}1}{\lim_{n\to \infty}(a_{n}+1)}}\) itd., tak? Tak mogę to uzasadnić?Jan Kraszewski pisze: ↑19 paź 2022, o 23:55 Akurat jak już pokażesz, że ten ciąg jest zbieżny do granicy \(\displaystyle{ g}\), to wyznaczenie tej granicy jest proste:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_{n}+1}}\)
czyli \(\displaystyle{ g=\frac{1}{1+g}}\) itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Granica ciągu rekurencyjnego
To akurat nie jest takie proste ani oczywisteMartaMaWszy pisze: ↑30 paź 2022, o 19:59 Hej, wiem że już trochę czasu minęło, ale nie miałem pojęcia że post ten tak wybuchł w odpowiedziach, więc podzielę się tym jak moim zdaniem najłatwiej to zrobić, musimy znaleźć tylko dwa podciągi, dokładniej jeden dla parzystych, drugi dla nieparzystych wyrazów ciągu, oba są monotoniczne i zbiegają do granicy podanej wcześniej, więc nasz cały ciąg także do niej zbiega, dziękuję serdecznie wszystkim za pomoc
\(\displaystyle{ a_{n+2}-a_n=\frac{1-a_n-a_n^2}{a_n+2}}\), więc tak od razu nie widać, że podciągi parzysty i nieparzysty są monotoniczne.
Fajnie za to działa taki argument (oczywiście pamiętamy, że wszystkie wyrazy ciągu od pewnego miejsca są w przedziale `(1/2,1)`):
Jeżli `a_n<\frac{\sqrt5-1}{2}`, to `a_{n+1}>\frac1{\frac{sqrt5-1}{2}-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}` i vice versa.
Jeżli teraz zauważymy, że
`a_{n+1}-a_n=\frac{1}{a_n+1}-\frac{1}{a_{n-1}+1}=\frac{a_{n-1}-a_n}{(a_n+1)(a_{n-1}+1)}`, skąd wynika, że
`|a_{n+1}-a_n|<\frac{4}{9}|a_{n}-a_{n-1}|` , to zbieżność ciągu `a_n` dostajemy natychmiast.
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Granica ciągu rekurencyjnego
Myślę, że warto, abyś zajrzał do podręcznika i przeczytał stosowne twierdzenia.vpprof pisze: ↑1 lis 2022, o 03:22 Czy tu chodzi o prostą arytmetykę granic? Rozumiem, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty}a_{n}}\) i że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_{n}+1}=\frac{\lim_{n\to \infty}1}{\lim_{n\to \infty}(a_{n}+1)}}\) itd., tak? Tak mogę to uzasadnić?
To, co napisałeś jest prawdą pod warunkiem, że ciąg `a_n` ma granicę, a w drugim przypadku ta granica musi być dodatkowo różna od `0` (bo inaczej prawa strona nie ma sensu)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Granica ciągu rekurencyjnego
Według mnie cała ta dyskusja to dyskusja o niczym, bo od prawie samego początku znany jest wzór jawny , gdzie bardzo łatwo obliczyć granicę, potem robi się cała chryja bo J. Kraszewski przypisuje sobie to co zrobił a4karo, który w końcu udowodnił to dla postaci rekurencyjnej ale J. P. II Kraszewski tylko zrobił to co na samym początku się nie robi lecz przy akompaniamencie a4karo twierdził, że to zrobił... Ja znowu od początku twierdziłem, że niczego nie dokonał co podtrzymuję, oraz, że otwartych drzwi się nie wyważa więc cała reszta co robił a4karo jak najbardziej dydaktyczna ale to tylko sztuka dla sztuki. Po znalezieniu wzoru jawnego wszystko było oczywiste... jak na dłoni...
Mieliśmy tu oprócz zadania do czynienia z intrygą i manipulacją...
Howgh...
Mieliśmy tu oprócz zadania do czynienia z intrygą i manipulacją...
Howgh...
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Re: Granica ciągu rekurencyjnego
@a4karo Tak tak udowodniłem, że mój ciąg jest monotoniczny i ograniczony czyli zbieżny, tylko tego nie napisałem, żeby nie rozdymać mojego posta.