Granica ciągu rekurencyjnego

[MartaMaWszy]

Hej wszystkim, mam problem z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ a=a_{1}>0, a_{n+1}=\frac{1}{a_{n}+1}}\)
Udowodnić, że ciąg ma granicę i znaleźć tę granicę w zależności od a.

Próbowałem już dużo rzeczy, wiem że ciąg dla n róznego od jeden jest mniejszy od jedynki, czyli dokądś dąży, ale nie mam pojęcia gdzie i jak mam to pokazać. Z zadaniami z granicami ciągów rekurencyjnych mam największe problemy, więc jeśli ktoś ma jakiś pomysł, lub będzie w stanie skierować mnie w dobrą stronę, to będę bardzo wdzięczny!

[arek1357]

Zauważ, że ciąg ten można przedstawić tak:

\(\displaystyle{ a_{1}=a}\)

\(\displaystyle{ a_{2}= \frac{1}{1+a} }\)

\(\displaystyle{ a_{n+3}= \frac{F_{n+1}+F_{n}a}{F_{n+2}+F_{n+1}a} , n \ge 0 }\)

\(\displaystyle{ F_{i}, i=0,1,2,3,...}\) - ciąg Fibonacciego...

Teraz chyba łatwo wyliczyć granicę...

Jak również podać wzór jawny tego ciągu...

[MartaMaWszy]

Kompletnie bym na to nie wpadł, dzięki wielkie, teraz będę na to bardziej zwracał uwagę!

[arek1357]

teraz będę na to bardziej zwracał uwagę!

Czyli na co? na Fibonacciego?

Nie warto bo następne zadanie może tyczyć zgoła zupełnie innego ciągu np. ciągu Matemallufusa...

Warto jednak zwracać uwagę na pewne niekonwencjonalne sposoby podejścia do różnych zagadnień...

[Jan Kraszewski]

Akurat jak już pokażesz, że ten ciąg jest zbieżny do granicy \(\displaystyle{ g}\), to wyznaczenie tej granicy jest proste:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_{n}+1}}\)

czyli \(\displaystyle{ g=\frac{1}{1+g}}\) itd.

[MartaMaWszy]

teraz będę na to bardziej zwracał uwagę!

Czyli na co? na Fibonacciego?

Nie warto bo następne zadanie może tyczyć zgoła zupełnie innego ciągu np. ciągu Matemallufusa...

Warto jednak zwracać uwagę na pewne niekonwencjonalne sposoby podejścia do różnych zagadnień...

Szczerze Ci powiem, że analiza jest mi jeszcze tak bardzo obca, że jeśli już będę zwracał uwagę na sam fakt, że coś takiego może się pojawiać, to mocno mi to rozjaśni przyszłą drogę.

[MartaMaWszy]

Akurat jak już pokażesz, że ten ciąg jest zbieżny do granicy \(\displaystyle{ g}\), to wyznaczenie tej granicy jest proste:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_{n}+1}}\)

czyli \(\displaystyle{ g=\frac{1}{1+g}}\) itd.

Właśnie tak próbowałem robić, ale nie miałem pojęcia jak udowodnić, że jest zbieżny

[arek1357]

Akurat w tym ostatnim nie wyjdzie prawidłowa granica bo nie będzie uwzględniony warunek początkowy czyli a...
A poza tym trzeba udowodnić zbieżność co nie jest tak hop siup od razu...

[arek1357]

Z rozwiązywaniem takich równań trzeba ostrożnie i przemyśleć sprawę...

[a4karo]

Akurat w tym ostatnim nie wyjdzie prawidłowa granica bo nie będzie uwzględniony warunek początkowy czyli a...
A poza tym trzeba udowodnić zbieżność co nie jest tak hop siup od razu...

Nie wyjdzie prawidłowa granica, boś wzorek do luftu napisał
Zamiast
\(\displaystyle{ a_{n+3}= \frac{F_{n+1}+F_{n}a}{F_{n+2}+F_{n+1}a} , n \ge 0 }\)
powinno być
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{F_{n-1}+F_{n-2}a}{F_{n}+F_{n-1}a} , n \ge 3 }\)
i wtedy granica niezależna od `a` (tak jak to uzasadnił JK.

A zbieżności nie trzeba dowodzić, bo zbiezność `F_{n+1}/F_{n}` jest znana

[a4karo]

Zgadnięcie wzoru na `n`-ty wyraz jest oczywiście rzeczą fajną, ale nie zawsze musi się udać.

Zadanie można rozwiązać np. tak:
wiemy, że dla wszystkich `n>1` zachodzi `a_n<1`. Stąd, dla wszystkich `n>2` mamy `a_n=\frac{1}{a_{n-1}+1}>1/2` oraz \(\displaystyle{ \frac14<\frac{1}{(a_n+1)(a_{n-1}+1)}<\frac49}\).
Dla `n>2` zachodzi zatem
(*) \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{a_n+1}-\frac{1}{a_{n-1}+1}=\frac{a_{n-1}-a_n}{(a_n+1)(a_{n-1}+1)}}\)
Jeżeli oznaczymy `b_n=a_n-a_{n-1}` to z (*) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}<\frac49}\), a zatem szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=3}^\infty b_n}\) jest zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta. A to znaczy, że ciąg \(\displaystyle{ \sum_{n=3}^N b_n=a_N-a_2}\) jest zbieżny.

Mamy zatem zbieżność ciągu `a_n` i granicę wyliczymy tak, jak pokazał JK

[arek1357]

zbieżności nie trzeba dowodzić, bo zbiezność \(\displaystyle{ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}}\) jest znana

Ja o tym nie mówiłem, tu raczej nie błysnąłeś geniuszem...

A ze wzorkiem może mi się indeksy poprzestawiały obniżyłem o jeden ale nie od razu do luftu , bo do luftu to są twoje uwagi...

i wtedy granica niezależna od a (tak jak to uzasadnił JK.

Nic nie uzasadnił tylko powiedział...

[Jan Kraszewski]

Nic nie uzasadnił tylko powiedział...

Może nie doczytałeś...

JK

[arek1357]

Akurat jak już pokażesz, że ten ciąg jest zbieżny do granicy g, to wyznaczenie tej granicy jest proste:

Tak pokazał to autor posta tylko nie zamieścił na forum... I dlatego nie doczytałem...

[a4karo]

zbieżności nie trzeba dowodzić, bo zbiezność \(\displaystyle{ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}}\) jest znana

Ja o tym nie mówiłem,

Oj, Arku.... Przecież napisałeś trochę wcześniej

Akurat w tym ostatnim nie wyjdzie prawidłowa granica bo nie będzie uwzględniony warunek początkowy czyli a...
A poza tym trzeba udowodnić zbieżność co nie jest tak hop siup od razu...

A ze wzorkiem może mi się indeksy poprzestawiały obniżyłem o jeden ale nie od razu do luftu , bo do luftu to są twoje uwagi...

Przecież nie chodzi o to, że obniżyłeś indeksy o jeden (bo to kwestia definicji ciągu Fibonacciego), ale żeś w liczniku poszachrował z kolejnością: przy `a` powinien stać Fibonacci z wyższym numerkiem, a wyraz wolny ma niższy numerek. Dokładnie tak samo jest mianowniku i dlatego granica nie zależy od warunku początkowego.

A moje uwagi "do luftu" po prostu prostują Twoje "nie do luftu" błędy.