Matematyka.pl

Mam problem z takim zadaniem.mamy wektory:\(\displaystyle{ r=(10,5,-7)\\ a=(5,4,-6)\\b=(-2,2,3)}\)
a) wyznacz kąt tworzony przez wektor r z dodatnim kierunkeim osi z.
b)Oblicz składową wektora a w kierunku wektora b,
c)Oblicz skladową wektora a wzdłuż osi prostopadłej do wektora b i leżącej na płasczyznie wyznaczonej przez wektory a i b.
Nie chodzi mi o całe rozwiązanie tylko raczej na jakies wskazówki czy wytłumaczenie.
Z góry dziękuje:)

wskazówka - iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny, dobrze ale co to znaczy :"w kierunku wektora a"??

proponuję narysowanie układu współrzędnych - zobacz czym jest rzut wektora.
w tym temacie
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42275#175034
jest poruszony podobny problem

No to mi niestety za wiele nie mowi akurat rzut wektora na wektor rozumiem..

a) z iloczynu skalarnego będziesz (iloczyn r i wektora jednostkowego osi z skierowanego dodatnie) będziesz znal cosinus kąta

b) tu masz rzutowanie wektora a na wektor b - skoro (wzór podany w linku)

c) liczysz wektor prostopadły do b leżący na danej płaszczyźnie i dalej jak w b

Jeśli chcesz, żebym dalej rozpisywał, daj znać, choć mam nadzieję że już takie wskazówki wystarczą. Powodzenia.

ok dzięki.Ale teraz mam prośbe czy mógłbyś mi wytłumaczyc wzór na rzut wektora na wektor albo go wyprowadzic, bo nie wiem skąd on sie bierze a koszystanie z gotowych wzorów mnie nie przekonuje.

Rzutujemy \(\displaystyle{ \vec{a}}\) na \(\displaystyle{ \vec{b}}\).

Najpierw musisz obliczyć długość wektora zrzutowanego \(\displaystyle{ \vec{a_b}}\) - zauważ, że po odpowiednim przesunięciu wektora \(\displaystyle{ \vec{b}}\) dostaniesz trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ |\vec{a}|}\) i przyprostokątnej zawartej w prostej równoległej do \(\displaystyle{ \vec{b}}\). Kąt zawarty między nimi możesz obliczyć z iloczynu skalarnego wektorów.

Skoro znamy już długość wektora zrzutowanego musimy go "przyczepić" do tego samego początku, co wektor \(\displaystyle{ \vec{b}}\) (który niekoniecznie jest jednostkowy).

Stąd wzór:
\(\displaystyle{ \vec{a_b} = \frac{\vec{b}|\vec{a}|\cos\alpha}{|b|}}\)

a jakie mnożenie jest wtedy między wektorem a cosinusem kąta w liczniku?