Matematyka.pl

Cztery zadanka z seri MATURA 2005:

1.Pole sciany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokatnego jest rowna S. Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Oblicz objetosc.

2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległość środka wysokości od krawędzi bocznej i ściany bocznej wynosza odpowiednio a i b. Oblicz objetość.

3.W ostrosłupie prawidłowym czworokatnym krawedz boczna tworzy z krawedziom podstawy \(\displaystyle{ \angle\alpha}\). Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi scianami bocznymi.

4.Oblicz objetość ostrosłupa prawidłowego czworokatnego mając długość krawędzi podstawy 6 i miare 120 stopni kata miedzy dwiema sasiednimi scianami bocznymi.

Zobacz na zadanie https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2622
Zad 3 to to samo tylko w odwrotnym kierunku.

Rzecyzwiscie jest . Dziekuje zapomoc przy zadaniu.

niech ten kąt 2a będzie między wysokością ściany bocznej a boczną krawędzią,
niech h to wysokość sciany bocznej a H to wysokość ostrosłupa
mamy zatem :

\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{h}=tg(\alpha)}\)
stąd
\(\displaystyle{ h=\frac{a}{2tg(\alpha)}}\)
więc

\(\displaystyle{ S=\frac{a^{2}}{4tg(\alpha)}}\)

\(\displaystyle{ a=\sqrt{4Stg(\alpha)}=2\sqrt{Stg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ a=2htg(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ S=h^{2}tg(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}}}\)
z pitagorasa :
\(\displaystyle{ H^{2}+\frac{a^{2}}{4}=h}\)
\(\displaystyle{ H=\sqrt{h^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}-Stg(\alpha)}=\sqrt{S(ctg(\alpha)-tg(\alpha)}}\)



\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^{2}H=\frac{1}{3}4Stg(\alpha)\sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}-Stg(\alpha)}}\)

Czy zadanie numer 3 można tak rozwiązać?