Homomorfizm pierścieni

[arek1357]

Dokładnie tak...

[Piasek96]

Dziękuję wszytsko już rozumiem.

[Wojtus2131]

(...) a jak mamy \(\displaystyle{ Z^2}\)->\(\displaystyle{ Z}\) mamy dwa homomorfizmy?

Dokładnie tak...

masz na mysli niezerowe homomorfizmy?

[arek1357]

Tak mam na myśli niezerowe...

Bo jeżeli cały pierścień unurzam w zerze będzie to tylko jakiś trywialny przypadek mało znaczący...

[Wojtus2131]

(...) \(\displaystyle{ Z}\)->\(\displaystyle{ Z^2}\) to wychodzi jeden homomorfizm (...)

Dokładnie tak...

hmm, moge czegos nie rozumiec, mylic sie, ale mi wyszly:
\(\displaystyle{ f(x)=(x,x), f(x)=(0,x), f(x)=(x,0)}\) no i zerowy.

[arek1357]

\(\displaystyle{ f(x)=(0,x)}\)

ale u ciebie:

\(\displaystyle{ f(1)=(0,1)}\)

a czy:

\(\displaystyle{ (0,1)}\)

jest jedynką w \(\displaystyle{ \ZZ^2}\)

A jedynka winna przejść w jedynkę...

[Wojtus2131]

jasne, dzieki

[terechsan]

Ale to też zależy czy się przyjmuje tak, że jedynka ma przejść w jedynkę czy nie. Jeżeli nie musi przejść w jedynkę no to mamy 4 homomorfizmy. \(\displaystyle{ f(x)=(x,x), f(x)=(0,x), f(x)=(x,0)}\) no i zerowy.

[arek1357]

A czemu ma się przyjąć, że jedynka nie przechodzi w jedynkę...

Jaka jest definicja homomorfizmu pierścieni...

[terechsan]

Na wykładach tak mam, w notatkach tak mam. Widzę, też że na różnych wykładach znalezionych na Google też nie przyjmują przechodzenia jedynki na jedynkę.

[Jan Kraszewski]

Cóż, przecież pierścień nie musi mieć jedynki. arek1357 pisze o homomorfizmach pierścieni z jedynką. Homomorfizm pierścieni nie musi spełniać tego warunku.

JK

[arek1357]

Pierścień nie musi mieć jedynki jasne, ale te dwa akurat mają i trudno szukać jakiś nieistniejących homomorfizmów w pierścieniach z jedynką odpowiednich dla pierścieni z jedynką...

Jeżeli zapodacie pierścień bez jedynki to będzie się szukać homomorfizmów bezjedynkowych...

\(\displaystyle{ f:Z^2 \rightarrow Z}\)

Tak jak bardzo chcecie niech jedynka nie przechodzi w jedynkę ani zero...

\(\displaystyle{ f(1,1)=a \neq 1,0}\)

\(\displaystyle{ f[(1,1)(1,1)]=f(1,1)f(1,1)=a \cdot a=a^2}\)

\(\displaystyle{ f[(1,1)(1,1)]=f(1,1)=a}\)

z tego:

\(\displaystyle{ a^2=a}\)

\(\displaystyle{ a=0 \vee a=1}\)

Więc radzę się trzymać raczej utartych szlaków...


Jeżeli koniecznie chcecie mieć pierścień bez jedynki to serwuję:

Zbiór macierzy tego typu:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\0&0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ a,b \in Z}\)

Teraz szukajcie sobie sensownych homomorfizmów...