Homomorfizm pierścieni

[Piasek96]

Wyznaczyć wszystkie homomorfizmy pierścienia \(\displaystyle{ \ZZ^2}\) w pierścień \(\displaystyle{ \ZZ}\).

[arek1357]

\(\displaystyle{ \phi(x,x)=x\phi(1,1)=x}\)

\(\displaystyle{ \phi(0,1)=a}\)

\(\displaystyle{ \phi(1,0)=b}\)

\(\displaystyle{ \phi[(1,0)+(0,1)]=a+b=1}\)

\(\displaystyle{ b=1-a}\)

\(\displaystyle{ \phi[(1,0) \cdot (0,1)]=\phi(0,0)=0=a(1-a)=0}\)

\(\displaystyle{ a=0 \vee a=1}\)

Dalej sobie poradzisz??

[Piasek96]

A możesz dokończyć, bo kompletnie nie wiem jak to się robi?

[arek1357]

A co mam dokończyć widać gołym okiem, że homomorfizmów jest dwa:

\(\displaystyle{ \phi(1,0)=1 \wedge \phi(0,1)=0}\)

lub:

\(\displaystyle{ \phi(1,0)=0 \wedge \phi(0,1)=1}\)

niech:

\(\displaystyle{ I=\left\{ x \in Z^2:x=(0,a), a \in Z \right\}}\)

\(\displaystyle{ J=\left\{ x \in Z^2:x=(a,0), a \in Z \right\}}\)

więc będzie:

\(\displaystyle{ \phi^{-1}(0,0)=I \vee \phi^{-1}(0,0)=J}\)

Są to ideały...

[Piasek96]

A jak będzie \(\displaystyle{ \ZZ}\) w pierścień \(\displaystyle{ \ZZ^2}\)?

[arek1357]

Analogicznie


Wsk.:

\(\displaystyle{ \phi(1)=(1,1)}\)

[Piasek96]

A skąd te \(\displaystyle{ (1,1)}\)?

[arek1357]

Element neutralny \(\displaystyle{ \ZZ^2}\).

[Piasek96]

A skąd jest \(\displaystyle{ a(1-a)}\) ?

-- 13 gru 2018, o 20:23 --

Czyli jak mamy \(\displaystyle{ \ZZ}\) na pierścień \(\displaystyle{ \ZZ^2}\) to jest jeden homomorfizm?

-- 13 gru 2018, o 20:29 --

Bo nie mogę brac \(\displaystyle{ 1}\) tylko \(\displaystyle{ 0}\), czyli wychodzi \(\displaystyle{ f(x)=(x,x)}\) to wyjdzie tylko dla \(\displaystyle{ f(0)=(0,0)}\).

[Jan Kraszewski]

To było dość niechlujnie napisane. Powinno być tak:

\(\displaystyle{ 0=\phi(0,0)=\phi[(1,0) \cdot (0,1)]=\phi(1,0) \cdot \phi(0,1)=ba=(1-a)a}\)

zatem \(\displaystyle{ a(1-a)=0}\).

JK

[Piasek96]

No dobrze, próbowałam robić analogicznie i nie wychodzi.

[arek1357]

Ale co próbowałaś robić analogicznie pokaż swoje analogiczne rozumowanie?

A znasz w ogóle działanie jak się mnoży i dodaje w.: \(\displaystyle{ Z^2}\)

[Piasek96]

Tak rozumiem

[ciach]

[arek1357]

Za bardzo kombinujesz po co to całe dodawanie masz :

\(\displaystyle{ \phi(x,x)=x.}\)

I tyle tylko i wyłącznie...

Co Ty tam w ogóle robisz jest niepotrzebne bo co chcesz zrobić, jest tylko jeden homomorfizm i tyle.

[Piasek96]

Czy to zależy od tej pierwszej wartości \(\displaystyle{ \ZZ \to \ZZ^2}\) to wychodzi jeden homomorfizm a jak mamy \(\displaystyle{ \ZZ^2\to\ZZ}\) mamy dwa homomorfizmy?