Skaczące żaby

[AiDi]

To ja może wyjątkowo stanę w obronie Jakuba Guraka, ale tak tyci tyci. Bo co prawda książki z algebry liniowej miałem w rękach dość dawno, ale jednak jestem pewien, że nigdy takiego zapisu w kontekście dwuwymiarowym nie widziałem. Sam też się lekko zdziwiłem. Ale ma on sens w kontekście przestrzeni afinicznych, gdzie dodaje się wektory do punktów, a że "prawdziwe" (nie dualne) wektory zapisuje się w pionie, więc punkty też by wypadało.

Można się zatem zdziwić, ale będąc matematykiem, to powinno się domyślić 'o co cho'.

[Jakub Gurak]

Zwracam uwagę, że ( ) nie dostałem odpowiedzi na moje pytanie o jakie punkty tutaj chodzi. I ja nie wiem czy chodzi tu o trójkę punktów \(\displaystyle{ \left( \ \left( 1,0\right); \left( 1,1\right); \left( 0,1\right) \ \right) }\) czy raczej chodzi tu o trójkę punktów \(\displaystyle{ \left( \ \left( 0,1\right); \left( 1,1\right); \left( 1,0\right) \ \right) }\)?? No bo skoro ni stąd ni zowąd zmieniamy kierunek pisania na pionowy, to skąd ja mam wiedzieć czy przypadkiem nie zmieniamy tutaj jeszcze kolejności współrzędnych (wszak przecież są w matematyce możliwe takie sytuacje: patrz na operację złożenia funkcji), więc ja nie wiem o jakie punkty tutaj chodzi?? Dziwaczenie kosztuje.

[Jan Kraszewski]

Zwracam uwagę, że ( ) nie dostałem odpowiedzi na moje pytanie o jakie punkty tutaj chodzi. I ja nie wiem czy chodzi tu o trójkę punktów \(\displaystyle{ \left( \ \left( 1,0\right); \left( 1,1\right); \left( 0,1\right) \ \right) }\) czy raczej chodzi tu o trójkę punktów \(\displaystyle{ \left( \ \left( 0,1\right); \left( 1,1\right); \left( 1,0\right) \ \right) }\)??

To są te same trzy punkty, więc dużej różnicy Ci to nie robi... Ale \(\displaystyle{ \binom{1}{0} }\) to "wektorowy" zapis punktu \(\displaystyle{ (1,0).}\)

No bo skoro ni stąd ni zowąd zmieniamy kierunek pisania na pionowy, to skąd ja mam wiedzieć czy przypadkiem nie zmieniamy tutaj jeszcze kolejności współrzędnych (wszak przecież są w matematyce możliwe takie sytuacje: patrz na operację złożenia funkcji), więc ja nie wiem o jakie punkty tutaj chodzi?? Dziwaczenie kosztuje.

No to nie dziwacz, tylko skorzystaj z rady AiDiego:

Można się zatem zdziwić, ale będąc matematykiem, to powinno się domyślić 'o co cho'.

JK

PS

Bo co prawda książki z algebry liniowej miałem w rękach dość dawno, ale jednak jestem pewien, że nigdy takiego zapisu w kontekście dwuwymiarowym nie widziałem.

Mam teraz ćwiczenia z algebry liniowej z pierwszakami na matematyce i tam stosujemy wyłącznie zapis pionowy, zarówno do punktów, jak i do wektorów.

[mol_ksiazkowy]

czyli tak, aby żaba, przeskakując nad inną żabą, przeskoczyła symetrycznie dwukrotność odległości tych żab??

Jest dużo wariantów zadania związanych z odmiennymi regułami zachowań żab (można także zmieniać ich ustawienie):

[Jakub Gurak]

Szkoda że już nowy rok, a ja dalej tego zadania nie rozwiązałem (ale przynajmniej zacząłem już coś je w starym roku, w niedziele zrobiłem rysunek do tego zadania zgodnie ze wskazówką Dasia11). Ale mam tutaj jeszcze jedno małe pytanie odnośnie tej wskazówki:

Przekształć płaszczyznę funkcją liniową...

Czy chodzi Ci tu po prostu o funkcję \(\displaystyle{ f:\RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2}, }\) daną równaniem liniowym, czy raczej chodzi Ci tu o odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2} }\) (w sensie algebry liniowej)

[Jan Kraszewski]

Czy chodzi Ci tu po prostu o funkcję \(\displaystyle{ f:\RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2}, }\) daną równaniem liniowym,

A co to takiego?

JK

[mol_ksiazkowy]

Być może chodzi o \(\displaystyle{ (x,y) \mapsto (3a-2x, 3b-2y)}\) (to przeskok nad żabą która jest w \(\displaystyle{ (a, b)}\), z punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) do punktu \(\displaystyle{ (x^{\prime}, y^{\prime})}\)). Niezmiennik to \(\displaystyle{ x \mod \ 3 }\), jak podał już krl.
To w wersji "pierwotnej zadania".

[Jakub Gurak]

Udało mi się dzisiaj w pomysłowy sposób rozwiązać to zadanie. Przedstawię teraz to rozwiązanie:
Zgodnie ze wskazówką Dasia11 przekształcamy sześciokąt foremny o środku w początku układu i przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ (1,0)}\) na sześciokąt (już nie-foremny) przechodzący przez punkty \(\displaystyle{ \left( -1,-1\right); \left( -1,0\right); \left( 0,1\right) ; \left( 1,1\right); \left( 1,0\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( 0,-1\right) }\). Zauważmy, że są to punkty o współrzędnych całkowitych; oraz, dla takich punktów \(\displaystyle{ \left( x,y\right),}\) mamy zawsze: \(\displaystyle{ 2\not| x}\) lub \(\displaystyle{ 2\not| y. }\) Zauważmy, że jeżeli żaba skacze z punktu \(\displaystyle{ P_1= \left( x_1; y_1\right)}\) nad żabą siedzącą w punkcie \(\displaystyle{ P_2=\left( x_2;y_2 \right)}\) to ląduje w punkcie \(\displaystyle{ P_3=\left( x_3; y_3\right)}\), gdzie:
\(\displaystyle{ P_3=\left( x_2+\left( x_2-x_1\right); y_2+\left( y_2-y_1\right) \right)=\left( 2x_2-x_1; 2y_2-y_1\right) =:\left( x_3,y_3 \right).}\)
Przez indukcję można pokazać, że mamy nadal zawsze: \(\displaystyle{ 2\not|x_3}\) lub \(\displaystyle{ 2\not|y_3}\), bo gdyby nie zachodziłby krok indukcyjny, czyli gdyby było: \(\displaystyle{ 2|x_3}\) i \(\displaystyle{ 2|y_3}\), to ponieważ \(\displaystyle{ 2|\left( 2x_2\right)}\), więc również byłoby \(\displaystyle{ 2| \left( 2x_2-x_3= 2x_2-\left( 2x_2-x_1\right) =x_1 \right)}\) , i w podobny sposób uzasadniamy, że \(\displaystyle{ 2| y_1}\), co razem jest sprzeczne z naszym założeniem indukcyjnym.
Wobec czego dla punktów \(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\) w którym mogą znajdować się żaby mamy zawsze: \(\displaystyle{ 2\not| x}\) lub \(\displaystyle{ 2\not|y}\).
Ponieważ dla początku układu (będącym środkiem symetrii również naszego sześciokąta o wierzchołkach w punktach o obu współrzędnych całkowitych) dla jego współrzędnej równej \(\displaystyle{ 0}\), mamy \(\displaystyle{ 2|0}\), bo \(\displaystyle{ \frac{0}{2}=0 \in \ZZ}\), więc nigdy żaba nie wskoczy do środka tego sześciokąta, bo zawsze przynajmniej jedna współrzędna punktu w którym jest żaba nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), (a dla punktu \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\) mamy: \(\displaystyle{ 2|0}\)).\(\displaystyle{ \square}\) Jestem logik.
Na koniec chciałbym podziękować Dasiu11 za pomysł, bo na taki sześciokąt to ja bym nie wpadł (tu można by jeszcze dopracować ten wzór na to przekształcenie liniowe, próbowałem, ale nie wyszło mi tu to, pojawiały się tu pierwiastki, których chciałem pozbyć się mnożąc je przez zero, ale dalej mi tu to nie wyszło to, ale chyba to jest dobrze??); a oto zapowiedziana zaskakująca ilustracja takiego sześciokąta:

Czy chodzi Ci tu po prostu o funkcję \(\displaystyle{ f:\RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2}, }\) daną równaniem liniowym,

A co to takiego?

Jest to funkcja postaci (dla danych stałych \(\displaystyle{ a,b \in \RR^2}\)), dana jako:
\(\displaystyle{ y=a \cdot x+b,}\)
(\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ x}\), jako punkty płaszczyzny, możemy potraktować tutaj jako liczby zespolone, które możemy już pomnożyć).

[Jan Kraszewski]

Czy chodzi Ci tu po prostu o funkcję \(\displaystyle{ f:\RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2}, }\) daną równaniem liniowym,

A co to takiego?

Jest to funkcja postaci (dla danych stałych \(\displaystyle{ a,b \in \RR^2}\)), dana jako:
\(\displaystyle{ y=a \cdot x+b,}\)
(\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ x}\), jako punkty płaszczyzny, możemy potraktować tutaj jako liczby zespolone, które możemy już pomnożyć).

To bardzo naciągana i niezbyt sensowna interpretacja.

JK

[mol_ksiazkowy]

A jakieś uogólnienia przestrzenne ? (żaby w wierzchołkach wielościanów) ?