Palindromy

[mol_ksiazkowy]

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), których zapis dziesiętny nie jest palindromem, ale zapis \(\displaystyle{ n^2}\) nim jest.

Przykład
\(\displaystyle{ n=26}\)

[Brombal]

Dosyć mało tych liczb
\(\displaystyle{ 26, 264, 307, 836, 2285, 2636, 22865, 24846, 30693...}\)

[arek1357]

A czy jest ich nieskończenie wiele?

[Brombal]

Z liczbą \(\displaystyle{ 26}\) jest pewien ślad.
Weźmy liczbę \(\displaystyle{ 307}\) pomnóżmy ją razy \(\displaystyle{ 100}\) i odejmijmy \(\displaystyle{ 7}\)
Następny wyraz to samo ale \(\displaystyle{ 7}\) dodajmy ( i tak na zmianę.
Ciąg jaki otrzymamy to \(\displaystyle{ 307, 30693, 3069307, 306930693, 30693069307.... }\)

[arek1357]

Czyli coś takiego pewnie: ?

\(\displaystyle{ n=1,2,3,... ; a_{1}=307 }\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n} \cdot 100+(-1)^n \cdot 7}\)

Dodano po 3 minutach 25 sekundach:
ale i tak coś tu nie gra

[Brombal]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n \rightarrow a_n \rightarrow {a_n}^2}\)
1 307 94249
2 30693 942060249
3 3069307 9420645460249
4 306930693 94206450305460249
5 30693069307 942064503484305460249
6 3069306930693 9420645034800084305460249
7 306930693069307 94206450348005140084305460249
8 30693069306930693 942064503480050971140084305460249
9 3069306930693069307 9420645034800509754371140084305460249
10 306930693069306930693 94206450348005097539414371140084305460249
11 30693069306930693069307 942064503480050975394573414371140084305460249
12 3069306930693069306930693 9420645034800509753945691173414371140084305460249
13 306930693069306930693069307 94206450348005097539456916031173414371140084305460249
14 30693069306930693069306930693 942064503480050975394569159882031173414371140084305460249
15 3069306930693069306930693069307 9420645034800509753945691598863282031173414371140084305460249
16 306930693069306930693069306930693 94206450348005097539456915988628523282031173414371140084305460249
17 30693069306930693069306930693069307 942064503480050975394569159886285662523282031173414371140084305460249
18 3069306930693069306930693069306930693 9420645034800509753945691598862856582262523282031173414371140084305460249
19 306930693069306930693069306930693069307 94206450348005097539456915988628565826922262523282031173414371140084305460249
....

Dodano po 2 minutach 44 sekundach:
Faktycznie nie gra od \(\displaystyle{ n=7}\) do co najmniej \(\displaystyle{ n=10000000}\)

Dodano po 4 godzinach 7 minutach 50 sekundach:
Podobna sytuacja dotyczy liczby \(\displaystyle{ 26}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}= a_n \cdot 10 +(-1)^{n} \cdot 4 }\)
Akcja kończy się na \(\displaystyle{ n=3}\)

Ukryta treść:    

1 26 676
2 264 69696
3 2636 6948496

[mol_ksiazkowy]

Moja hipoteza: Jeśli "kwadraty" zastapić przez "sześciany" to nie ma takich liczb ...?!

[Brombal]

Moja hipoteza: Jeśli "kwadraty" zastapić przez "sześciany" to nie ma takich liczb ...?!

Niestety \(\displaystyle{ 2201}\) ale do \(\displaystyle{ 10 ^{9} }\) nic więcej nie ma

Dodano po 40 minutach 27 sekundach:
Właściwie to nawet do \(\displaystyle{ 2 \cdot 10 ^{9} }\)