[Teoria liczb] zadania z teorii liczb

[kumkwat]

Hej, nieudolnie próbowałem rozwiązać 3 zadania:
1. rozwiąż równanie w calkowitych dostatnich \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\):
\(\displaystyle{ 4^x + 4^y + 1 = z^4}\)
drugie jest podobne:
\(\displaystyle{ 4^x + 3^y = z^2}\)
a trzecie jest trochę inne (również całkowite dodatnie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\), \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ (x+2y+3z)(2x+3y+z)(3x+y+2z)=17^k}\)
pierwsze dwa zadania próbowałem robić kongruencjami i albo nie widzę czegoś albo trzeba to zrobić jakąś inną metodą a w trzecim zadaniu poza oczywistym faktem że każdy nawias musi być potęgą \(\displaystyle{ 17}\) nic mi nie przychodzi do głowy. Czy mógłby ktoś pomóc mi rozwiązać te zadania albo chociaż podać podpowiedź jakiego narzędzia użyć?

[Ares7531]

Np. w pierwszym zapisz:

załóżmy, że: \(\displaystyle{ x \le y}\)

i wystarczy przekształcić do postaci:

\(\displaystyle{ 2^{2x}(1+2^{2y-2x})=(z^2-1)(z^2+1) }\)

teraz wystarczy zauważyć, że:

\(\displaystyle{ z}\) nieparzyste oraz: \(\displaystyle{ y=x}\)

\(\displaystyle{ 2^{2x+1}=(z^2-1)(z^2+1)}\)

\(\displaystyle{ z^2-1=2^r \wedge z^2+1=2^s}\)

a dalej wnioskuj sam pozostałe są podobne a nawet analogiczne

W drugim masz:

\(\displaystyle{ 3^y=(z-2^x)(z+2^x)}\)

czyli:

\(\displaystyle{ z-2^x=3^r \wedge z+2^x=3^s}\)

wnioski same się narzucają

[kerajs]

a trzecie jest trochę inne (również całkowite dodatnie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\), \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ (x+2y+3z)(2x+3y+z)(3x+y+2z)=17^k}\)
(...) poza oczywistym faktem że każdy nawias musi być potęgą \(\displaystyle{ 17}\) nic mi nie przychodzi do głowy.

Wystarczy wykorzystać ten fakt. Jeśli rozwiązanie istnieje to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+3z=17^k \\ 2x+3y+z=17^m \ \ \ \ \ \ dla \ \ \ k,m,n \in \NN_+\\ 3x+y+2z=17^z \end{cases} }\)
Dodając równania stronami mam:
\(\displaystyle{ 6(x+y+z)=17^k +17^m +17^n }\)
Lewa strona zawsze jest podzielna przez 6, a prawa nie jest*, więc to równanie, jak i równanie pierwotne, nie ma rozwiązania.

\(\displaystyle{ (*) \ \ (17^k +17^m +17^n) \bmod \ 6 \equiv ((-1)^k +(-1)^m +(-1)^n) \bmod \ 6 \not\equiv 0 }\)