Hej, nieudolnie próbowałem rozwiązać 3 zadania:
1. rozwiąż równanie w calkowitych dostatnich \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\):
\(\displaystyle{ 4^x + 4^y + 1 = z^4}\)
drugie jest podobne:
\(\displaystyle{ 4^x + 3^y = z^2}\)
a trzecie jest trochę inne (również całkowite dodatnie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\), \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ (x+2y+3z)(2x+3y+z)(3x+y+2z)=17^k}\)
pierwsze dwa zadania próbowałem robić kongruencjami i albo nie widzę czegoś albo trzeba to zrobić jakąś inną metodą a w trzecim zadaniu poza oczywistym faktem że każdy nawias musi być potęgą \(\displaystyle{ 17}\) nic mi nie przychodzi do głowy. Czy mógłby ktoś pomóc mi rozwiązać te zadania albo chociaż podać podpowiedź jakiego narzędzia użyć?
[Teoria liczb] zadania z teorii liczb
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
Ares7531
Re: [Teoria liczb] zadania z teorii liczb
Np. w pierwszym zapisz:
załóżmy, że: \(\displaystyle{ x \le y}\)
i wystarczy przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ 2^{2x}(1+2^{2y-2x})=(z^2-1)(z^2+1) }\)
teraz wystarczy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ z}\) nieparzyste oraz: \(\displaystyle{ y=x}\)
\(\displaystyle{ 2^{2x+1}=(z^2-1)(z^2+1)}\)
\(\displaystyle{ z^2-1=2^r \wedge z^2+1=2^s}\)
a dalej wnioskuj sam pozostałe są podobne a nawet analogiczne
W drugim masz:
\(\displaystyle{ 3^y=(z-2^x)(z+2^x)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ z-2^x=3^r \wedge z+2^x=3^s}\)
wnioski same się narzucają
załóżmy, że: \(\displaystyle{ x \le y}\)
i wystarczy przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ 2^{2x}(1+2^{2y-2x})=(z^2-1)(z^2+1) }\)
teraz wystarczy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ z}\) nieparzyste oraz: \(\displaystyle{ y=x}\)
\(\displaystyle{ 2^{2x+1}=(z^2-1)(z^2+1)}\)
\(\displaystyle{ z^2-1=2^r \wedge z^2+1=2^s}\)
a dalej wnioskuj sam pozostałe są podobne a nawet analogiczne
W drugim masz:
\(\displaystyle{ 3^y=(z-2^x)(z+2^x)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ z-2^x=3^r \wedge z+2^x=3^s}\)
wnioski same się narzucają
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Re: [Teoria liczb] zadania z teorii liczb
Wystarczy wykorzystać ten fakt. Jeśli rozwiązanie istnieje to:kumkwat pisze: 12 lip 2024, o 20:45 a trzecie jest trochę inne (również całkowite dodatnie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\), \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ (x+2y+3z)(2x+3y+z)(3x+y+2z)=17^k}\)
(...) poza oczywistym faktem że każdy nawias musi być potęgą \(\displaystyle{ 17}\) nic mi nie przychodzi do głowy.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+3z=17^k \\ 2x+3y+z=17^m \ \ \ \ \ \ dla \ \ \ k,m,n \in \NN_+\\ 3x+y+2z=17^z \end{cases} }\)
Dodając równania stronami mam:
\(\displaystyle{ 6(x+y+z)=17^k +17^m +17^n }\)
Lewa strona zawsze jest podzielna przez 6, a prawa nie jest*, więc to równanie, jak i równanie pierwotne, nie ma rozwiązania.
\(\displaystyle{ (*) \ \ (17^k +17^m +17^n) \bmod \ 6 \equiv ((-1)^k +(-1)^m +(-1)^n) \bmod \ 6 \not\equiv 0 }\)
Ostatnio zmieniony 1 gru 2025, o 13:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.