Silnia Potęga silnia

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ (n!)!}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ (n!)^{(n-1)!}}\).

[Brombal]

\(\displaystyle{ a=n!}\)
\(\displaystyle{ (n-1)!= \frac{a}{n} }\)
\(\displaystyle{ a!=a ^{ \frac{a}{n} } }\)
\(\displaystyle{ a!=a \cdot a \cdot (a+1) \cdot a \cdot (a+1)(a+2)...}\)
\(\displaystyle{ a!=a ^{a!-a} \cdot (a!-a)!}\)
Potęga po lewej musi być większa równa od tej po prawej
Jeżeli
\(\displaystyle{ a!-a \ge a}\)
to tym bardziej
\(\displaystyle{ a!-a \ge \frac{a}{n} }\)
\(\displaystyle{ a! \ge 2a}\)
czyli dzieli

[Dasio11]

Ogólnie \(\displaystyle{ (n \cdot k)!}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (n!)^k}\), bo iloraz \(\displaystyle{ \frac{(n \cdot k)!}{(n!)^k}}\) jest liczbą rozmieszczeń \(\displaystyle{ n \cdot k}\) ponumerowanych kul w \(\displaystyle{ k}\) ponumerowanych urnach, po \(\displaystyle{ n}\) kul w każdej. Wystarczy teraz podstawić \(\displaystyle{ k = (n-1)!}\).

Natomiast w rozwiązaniu z poprzedniego posta nie widzę sensu, a ośmielę się nawet przypuszczać, że go tam nie ma. Jeśli jednak ktoś go widzi, to poproszę o wyjaśnienie.

[Mateusz5324]

Natomiast w rozwiązaniu z poprzedniego posta nie widzę sensu, a ośmielę się nawet przypuszczać, że go tam nie ma. Jeśli jednak ktoś go widzi, to poproszę o wyjaśnienie.

Nie tylko ty nie widzisz, bo nikt go tam nie znajdzie. Już w trzeciej linijce jest błąd. Tzn. nie ma go tylko dla takich specyficznych \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ n-1!=1}\), a w zadaniu wydaje się chodzić o wszystkie \(\displaystyle{ n}\).

[Janusz Tracz]

Dasio11 mnie wyprzedził o kilka minut ale dodam tylko, że sytuacja jest podobna jak ta z: Podzielność i silnia (\(\displaystyle{ k=(n-1)!}\) daje nawet mocniejszy rezultat).

PS Zawsze można też napisać równoważnie \(\displaystyle{ \nu_p((n!)^{(n-1)!}) \le \nu_p((n!)!)}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) to ustalona liczba pierwsza; a na mocy wzoru Legendra możemy równoważnie wykazać nierówność

\(\displaystyle{ \sum _{i=1}^{\infty } (n-1)! \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \le \sum _{i=1}^{\infty } \left\lfloor {(n-1)!\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor. }\)

Bóg zapłać, że zachodzi \(\displaystyle{ \left\lfloor x \right\rfloor \left\lfloor y \right\rfloor \le \left\lfloor xy\right\rfloor}\), wszak \(\displaystyle{ \left\lfloor x \right\rfloor \left\lfloor y \right\rfloor = \left\lfloor \red { \left\lfloor x \right\rfloor} \blue{\left\lfloor y \right\rfloor} \right\rfloor \le \left\lfloor \red{x}\blue{y}\right\rfloor }\). Co kończy dowód.

[a4karo]

Sancta simplicitas.
A dla `x=y=-0.5`?

[Brombal]

Nie tylko ty nie widzisz, bo nikt go tam nie znajdzie. Już w trzeciej linijce jest błąd. Tzn. nie ma go tylko dla takich specyficznych \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ n-1!=1}\), a w zadaniu wydaje się chodzić o wszystkie \(\displaystyle{ n}\).

Błąd jest w czwartej linijce

Coś słabo z liczeniem

[Janusz Tracz]

Sancta simplicitas.
A dla `x=y=-0.5`?

Kod: Zaznacz cały

https://youtu.be/H0h_EhCnDpI?t=43

Bądź dużym chłopcem i przestań do mnie słać pytania. Twe słowa to ciągi liczb, nie ułożę z nich równania. ~Natalia Nykiel.

[Mateusz5324]

Nie tylko ty nie widzisz, bo nikt go tam nie znajdzie. Już w trzeciej linijce jest błąd. Tzn. nie ma go tylko dla takich specyficznych \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ n-1!=1}\), a w zadaniu wydaje się chodzić o wszystkie \(\displaystyle{ n}\).

Błąd jest w czwartej linijce

Coś słabo z liczeniem

Nie napisałem, że czwarta linijka jest poprawna, a jedynie, że w trzeciej jest błąd, a jeśli nadal uważasz, że nie ma tam błędu, to udowodnij równość w tej linijce zapisaną.