Podzielność i silnia

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ (kn)!}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ (n!)^k k! }\).

[a4karo]

Pokolorujmy liczby `1,2,...,n` kolorem `1`, liczby `n+1,...,2n` kolorem `2` itd.
Rozpatrzmy wszystkie permutacje `S_{kn}`, które spełniają takie warunki:
A) permutacja nie zmienia koloru elementu
B) wszystkie elementy tego samego koloru po zastosowaniu permutacji stoją obok siebie.

Innymi słowy permutacje mieszają elementy tego samego koloru oraz przestawiają całe jednokolorowe grupy.

Łatwo widać, że takich permutacji jest `(n!)^kk!`, a ponieważ tworzą one podgrupę, więc teza wynika z twierdzenia Lagrange'a

[mol_ksiazkowy]

tj. \(\displaystyle{ \frac{ (kn)! }{n!^k k!} }\) to ilość podziałów \(\displaystyle{ kn}\) osób na \(\displaystyle{ k}\) grup po \(\displaystyle{ n}\) osób.