iloczyn nieskończony - zadanie

[crybe]

Iloczyn dany wzorem
\(\displaystyle{ \prod_{i}^{1} (1+i x^{3i}) }\) tworzy funkcję
\(\displaystyle{ f(x) = 1+ a_{1} x^{3} + a_{2} x^{9} + ..... }\).
Znajdź \(\displaystyle{ a_{2023} }\)i wyrażenie ogólne na an.

[arek1357]

\(\displaystyle{ f(x)=1+x^3}\)

W związku z tym:

\(\displaystyle{ a_{2023}=0}\)

[crybe]

Tu oczywiście wkradł mi się błąd, powinno być:

Iloczyn dany wzorem
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+i x^{3i}) }\) tworzy funkcję
\(\displaystyle{ f(x) = 1+ a_{1} x^{3} + a_{2} x^{9} + ..... }\).
Znajdź \(\displaystyle{ a_{2023} }\)i wyrażenie ogólne na an.

[Dasio11]

I to chyba niejeden - w postaci z sumą brakuje \(\displaystyle{ x^6}\).

[a4karo]

A poza tym `a_{2023}` zależy od `n` i pewnie zachodzi konflikt oznaczeń (dla mnie nie jest jasne czym jest `n` w poleceniu)

[arek1357]

Może chodziło mu o iloczyn nieskończony...

[nijak]

Odpowiedzią apropo wartości \(\displaystyle{ a_{2023}}\) jest, że \(\displaystyle{ a_{2023}=2023!}\)

Możesz opracować zależność rekurencyjną dla \(\displaystyle{ a_n}\)::

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^n (1+ix^{3i})=\left[ \prod_{i=1}^{n-1} (1+ix^{3i})\right](1+nx^{3n})}\)

[arek1357]

Ta zależność rekurencyjna robi wrażenie...
(Imponująca)