Liczby zespolone ilość rozwiązań.

[Xenon02]

Proszę jeszcze chwileczkę że mną wytrzymać
Tak po prostu mam czasami z zrozumieniem czegoś.


Nie zrozumiałem po prostu czemu mi przedstawiłeś pojęcie zmiennych zależnych i niezależnych. I nie wiem za bardzo kiedy mam stwierdzić np że \(\displaystyle{ x^2}\) albo x o innej potędze to zmienną zależna czy niezależna.

W ostatnim akapicie o co mi chodziło.
Powiedziałeś że :

Bo to \(\displaystyle{ \Re(z)}\) jest podobne do \(\displaystyle{ \sin(x)}\), tylko myślę czy to jest spowodowane tym że jest to funkcja a nie sama zmienna. Bo ta zmienna jest tylko że jako funkcja ?

Ta zmienna występuje jako argument funkcji, która nie jest funkcją potęgową.

JK

"Funkcją potęgową". Czyli kiedy traktować \(\displaystyle{ x^n}\) (dla n - naturalnych) jako funkcję czyli jako zmienną zależną bo tym są funkcje. A kiedy traktować jako zmienne niezależne.



Bo z tego co przeczytałem i chyba zrozumiałem to jednomian to musi być liczba * zmienna a nie liczba * funkcja.
Natomiast funkcją potęgowa to jest funkcją jakby na to nie patrzeć. Wiem że czepiam się słówek.

Oraz informacja o zmiennych zależnych i niezależnych mnie zainteresował.
Bo w sumie \(\displaystyle{ \frac{2}{x} }\) to chyba x dalej jest niezależne, ale też tworzy funkcję jak te potęgowe.

Czyli jednomian to liczba * zmienne zależne funkcji potęgowej ?

[Jan Kraszewski]

Nie zrozumiałem po prostu czemu mi przedstawiłeś pojęcie zmiennych zależnych i niezależnych.

Może to był mój błąd...

I nie wiem za bardzo kiedy mam stwierdzić np że \(\displaystyle{ x^2}\) albo x o innej potędze to zmienną zależna czy niezależna.

Zmienna to literka, więc \(\displaystyle{ x^2}\) nie jest zmienną, tylko wyrażeniem, w którym występuje zmienna.

Bo z tego co przeczytałem i chyba zrozumiałem to jednomian to musi być liczba * zmienna a nie liczba * funkcja.
Natomiast funkcją potęgowa to jest funkcją jakby na to nie patrzeć. Wiem że czepiam się słówek.

Jednomian jest iloczynem liczby i zmiennych - bo w ogólności można rozpatrywać jednomiany wielu zmiennych. Ale w zakresie Twoich zainteresowań leżą obecnie jednomiany jednej zmiennej, czyli iloczyny, w których występuje liczba i tylko jedna zmienna (ale być może wielokrotnie), czyli wyrażenia postaci \(\displaystyle{ ax^n}\) (\(\displaystyle{ a}\) - liczba, \(\displaystyle{ x}\) - zmienna, \(\displaystyle{ n\in\NN}\)).

JK

[Xenon02]

Nie zrozumiałem po prostu czemu mi przedstawiłeś pojęcie zmiennych zależnych i niezależnych.

Może to był mój błąd...

Nie zarzucam niczego po prostu się zastanawiałem.

I nie wiem za bardzo kiedy mam stwierdzić np że \(\displaystyle{ x^2}\) albo x o innej potędze to zmienną zależna czy niezależna.

Zmienna to literka, więc \(\displaystyle{ x^2}\) nie jest zmienną, tylko wyrażeniem, w którym występuje zmienna.

Bo z tego co przeczytałem i chyba zrozumiałem to jednomian to musi być liczba * zmienna a nie liczba * funkcja.
Natomiast funkcją potęgowa to jest funkcją jakby na to nie patrzeć. Wiem że czepiam się słówek.

Jednomian jest iloczynem liczby i zmiennych - bo w ogólności można rozpatrywać jednomiany wielu zmiennych. Ale w zakresie Twoich zainteresowań leżą obecnie jednomiany jednej zmiennej, czyli iloczyny, w których występuje liczba i tylko jedna zmienna (ale być może wielokrotnie), czyli wyrażenia postaci \(\displaystyle{ ax^n}\) (\(\displaystyle{ a}\) - liczba, \(\displaystyle{ x}\) - zmienna, \(\displaystyle{ n\in\NN}\)).

To może zabrzmieć głupio co teraz powiem. I wiem że pewnie to jest spowodowane brakami w wiedzy z tego zakresu i nie tylko.

To wyrażeniem jest \(\displaystyle{ x^n}\) to taki \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) albo \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) to chyba też wyrażenia prawda ?
Albo \(\displaystyle{ \cos(x)}\) albo \(\displaystyle{ 2^x}\) to też wyrażenia ?
Bo tak teraz o tym czytam i przeczytałem że potęgi też się wliczają chociaż niby to co napisałem nie jest wyrażeniem. Chociaż pierwiastek to taka inna forma potęgi.

Albo bardziej złożone :

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x+y+2 \sqrt{xy}}{x-y} } }\)

To nie jest też wyrażenie ?

Pytam się w sumie o tą podstawę którą pewnie uczą już w podstawówce. Troszeczkę się zamotałem, prawie sobie to poukładałem w głowie.

Bo możliwe że źle rozumuję tutaj wyrażenie, bo uznaję to jako wzór funkcji. A w wzory mogą być bardziej złożone lub mniej taki np : \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) to jest wzór pewnej funkcji więc skoro to wzór funkcji to i też pewnie jest wyrażenie.

[Jan Kraszewski]

To wyrażeniem jest \(\displaystyle{ x^n}\) to taki \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) albo \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) to chyba też wyrażenia prawda ?
Albo \(\displaystyle{ \cos(x)}\) albo \(\displaystyle{ 2^x}\) to też wyrażenia ?

Używam nieformalnego terminu "wyrażenie", którego nie precyzowałem, bo uznałem, że jak zacznę używać bardziej formalnego języka, to będzie jeszcze gorzej.

Bo tak teraz o tym czytam i przeczytałem że potęgi też się wliczają chociaż niby to co napisałem nie jest wyrażeniem.

Twój problem polega też na tym, że nieprecyzyjnie wyrażasz swoje myśli. Co to znaczy "potęgi też się wliczają"? Co masz na myśli pisząc "to co napisałem nie jest wyrażeniem"? Jakie "to"?

Albo bardziej złożone :

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x+y+2 \sqrt{xy}}{x-y} } }\)

To nie jest też wyrażenie ?

Jest.

Bo możliwe że źle rozumuję tutaj wyrażenie, bo uznaję to jako wzór funkcji. A w wzory mogą być bardziej złożone lub mniej taki np : \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) to jest wzór pewnej funkcji więc skoro to wzór funkcji to i też pewnie jest wyrażenie.

Możesz myśleć o tym jak o wzorach funkcji.

JK

[Xenon02]

To \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) to też jest wyrażenie ?
Albo \(\displaystyle{ 3^x}\) to też jest wyrażenie ?

Bo na wikipedii niby pisze że te funkcje : \(\displaystyle{ 3^x}\), \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) nie są wyrażeniami.

A skoro wyrażenia to są funkcje to \(\displaystyle{ x^2}\), \(\displaystyle{ \cos(x)}\), \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\), itd to są wyrażenia bo to są funkcje.
To jednomian to jest liczba * zmienna. Tylko że \(\displaystyle{ x^2}\) to jest już wyrażenie, i czy jednomian to może być też to konkretne wyrażenie \(\displaystyle{ x^n}\), ale inne wyrażenia typu \(\displaystyle{ \sin(x)}\) \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) już nie ? Pomimo że też są wyrażeniami?

[Jan Kraszewski]

To \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) to też jest wyrażenie ?
Albo \(\displaystyle{ 3^x}\) to też jest wyrażenie ?

Bo na wikipedii niby pisze że te funkcje : \(\displaystyle{ 3^x}\), \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) nie są wyrażeniami.

Już Ci pisałem, że używałem terminu "wyrażenie" nieformalnie. A gdzież to w Wiki jest napisane, że to nie są wyrażenia? Nie pomyliłeś tego przypadkiem z "wyrażeniami algebraicznymi"?

To jednomian to jest liczba * zmienna.

Nie (tzn. nie tylko) Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych (jednej lub więcej).

Tylko że \(\displaystyle{ x^2}\) to jest już wyrażenie, i czy jednomian to może być też to konkretne wyrażenie \(\displaystyle{ x^n}\), ale inne wyrażenia typu \(\displaystyle{ \sin(x)}\) \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) już nie ? Pomimo że też są wyrażeniami?

Coś się czepił tych wyrażeń? Jednomian ma swoją ścisłą definicję i wystarczy ją zrozumieć.

JK

[Xenon02]

To \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) to też jest wyrażenie ?
Albo \(\displaystyle{ 3^x}\) to też jest wyrażenie ?

Bo na wikipedii niby pisze że te funkcje : \(\displaystyle{ 3^x}\), \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) nie są wyrażeniami.

Już Ci pisałem, że używałem terminu "wyrażenie" nieformalnie. A gdzież to w Wiki jest napisane, że to nie są wyrażenia? Nie pomyliłeś tego przypadkiem z "wyrażeniami algebraicznymi"?

"Nie pomyliłeś tego przypadkiem z "wyrażeniami algebraicznymi"?"
Możliwe ? Wpisałem wyrażenia i wszedłem na pierwszy lepszy link. Więc przeczytałem że niby wyrażenia nie mogę być w postaci takiej : \(\displaystyle{ 3^x}\), \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\). Innej definicji tego nie znalazłem na wiki.

Tylko że \(\displaystyle{ x^2}\) to jest już wyrażenie, i czy jednomian to może być też to konkretne wyrażenie \(\displaystyle{ x^n}\), ale inne wyrażenia typu \(\displaystyle{ \sin(x)}\) \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) już nie ? Pomimo że też są wyrażeniami?

Coś się czepił tych wyrażeń? Jednomian ma swoją ścisłą definicję i wystarczy ją zrozumieć.

To znaczy tutaj chodzi o to że to trzeba wykorzystać zmienną x. Ale w sumie funkcje też mają tą zmienną x. Ale \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ x^2}\) też jest funkcją jak \(\displaystyle{ \sin(x)}\). Więc nie wiedziałem to zrozumieć.

Kiedy "x" jest w funkcji to można tego traktować jako jednomian, ale \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ x^2}\) też są funkcjami ale je można uznać jako jednomiany.

[Jan Kraszewski]

"Nie pomyliłeś tego przypadkiem z "wyrażeniami algebraicznymi"?"
Możliwe ? Wpisałem wyrażenia i wszedłem na pierwszy lepszy link.

Czytanie ze zrozumieniem się kłania.

Innej definicji tego nie znalazłem na wiki.

Bo nie ma definicji "wyrażenia".

To znaczy tutaj chodzi o to że to trzeba wykorzystać zmienną x. Ale w sumie funkcje też mają tą zmienną x. Ale \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ x^2}\) też jest funkcją jak \(\displaystyle{ \sin(x)}\). Więc nie wiedziałem to zrozumieć.

No i co z tego? Każdy jednomian można traktować jako funkcję (nie wdając się w szczegóły...), ale nie każda funkcja jest jednomianem.

Kiedy "x" jest w funkcji to można tego traktować jako jednomian,

To nie można.

ale \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ x^2}\) też są funkcjami ale je można uznać jako jednomiany.

Można.

Oczywiście tak naprawdę rzeczywistość jest bardziej złożona, ale myślę, że na razie zrozumienie różnicy pomiędzy wielomianem a funkcją wielomianową jest poza Twoim zasięgiem.

JK

[Xenon02]

Innej definicji tego nie znalazłem na wiki.

Bo nie ma definicji "wyrażenia".

Okej to w takim razie \(\displaystyle{ \sqrt[y]{x} }\) albo \(\displaystyle{ 3^x}\) to też wyrażenie algebraiczne ?
Jak tak to okej.

To znaczy tutaj chodzi o to że to trzeba wykorzystać zmienną x. Ale w sumie funkcje też mają tą zmienną x. Ale \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ x^2}\) też jest funkcją jak \(\displaystyle{ \sin(x)}\). Więc nie wiedziałem to zrozumieć.

No i co z tego? Każdy jednomian można traktować jako funkcję (nie wdając się w szczegóły...), ale nie każda funkcja jest jednomianem.

Okej.
Możliwe że nie umiałem tego doczytać w definicji. Jestem trochę czepialski w kwestii szczegółów.
Sądziłem że skoro jest napisane że można korzystać z zmiennych to skoro ta zmienna będzie w innej funkcji to będzie okej, bo zmienna sama w sobie jest funkcją.


Mniej więcej chyba zaczynam rozumieć.
Ogółem to w sprawie tego początkowego równania z pierwszego posta : \(\displaystyle{ z^2 = j\Re(z)}\), to nie jest wielomian więc rozwiązań może mieć 0 albo 1 albo ile tam chce nawet jak jest \(\displaystyle{ z^2}\).

Wiem też że jak mamy wielomian złożony z samych liczb rzeczywistych np wielomian 3 stopnia to może być maks 3 rozwiązania ale też może być mniej. Natomiast przy liczbach zespolonych jak mam wielomian 3 stopnia to musi być na pewno 3 rozwiązania. Nawet jak mam \(\displaystyle{ z^3 + z^2 +1 = 0 }\) To tutaj będą 3 rozwiązania czy też musze wziąć pod uwagę potęgę \(\displaystyle{ z^2}\) ? To będzie ich więcej ?

[Jan Kraszewski]

Ogółem to w sprawie tego początkowego równania z pierwszego posta : \(\displaystyle{ z^2 = j\Re(z)}\), to nie jest wielomian więc rozwiązań może mieć 0 albo 1 albo ile tam chce nawet jak jest \(\displaystyle{ z^2}\).

Tak.

Wiem też że jak mamy wielomian złożony z samych liczb rzeczywistych np wielomian 3 stopnia to może być maks 3 rozwiązania ale też może być mniej. Natomiast przy liczbach zespolonych jak mam wielomian 3 stopnia to musi być na pewno 3 rozwiązania. Nawet jak mam \(\displaystyle{ z^3 + z^2 +1 = 0 }\) To tutaj będą 3 rozwiązania czy też musze wziąć pod uwagę potęgę \(\displaystyle{ z^2}\) ? To będzie ich więcej ?

A wiesz, co to jest stopień wielomianu? Bo wielomian zespolony ma tyle pierwiastków, ile wynosi jego stopień.

JK

[Xenon02]

Jeszcze tak się głupio zapytam, bo albo ja nie umiem czytać albo nie wiem :

\(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest tutaj wyrażeniem ? Czemu ?

Wiem też że jak mamy wielomian złożony z samych liczb rzeczywistych np wielomian 3 stopnia to może być maks 3 rozwiązania ale też może być mniej. Natomiast przy liczbach zespolonych jak mam wielomian 3 stopnia to musi być na pewno 3 rozwiązania. Nawet jak mam \(\displaystyle{ z^3 + z^2 +1 = 0 }\) To tutaj będą 3 rozwiązania czy też musze wziąć pod uwagę potęgę \(\displaystyle{ z^2}\) ? To będzie ich więcej ?

A wiesz, co to jest stopień wielomianu? Bo wielomian zespolony ma tyle pierwiastków, ile wynosi jego stopień.

Czyli w tym przykładzie \(\displaystyle{ z^3 + z^2 +1 = 0 }\) to pierwiastków będzie 3 ? Nawet jak jest jeszcze \(\displaystyle{ z^2}\) ?

No i co z tego? Każdy jednomian można traktować jako funkcję (nie wdając się w szczegóły...), ale nie każda funkcja jest jednomianem.

Jeszcze tak się dopytam, to czemu w definicji (albo ja nie potrafię doczytać), że tylko wyrażenia typu \(\displaystyle{ x^n}\) mogą być jednomianami a inne wyrażenia już nie ?

Sorka za byciem trochę czepialskim ;D
Bo w niektórych miejscach piszę że to wyrażenia arytmetyczne, ale myślałem o tym że czemu \(\displaystyle{ sin(x)}\) albo inne np jakieś pierwiastki albo te gdzie \(\displaystyle{ 41^x}\) jest wyrażeniem tak jak to jest napisane w teorii ale nie pasuje.

Pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest tutaj wyrażeniem ? Czemu ?

\(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest wyrażeniem ALGEBRAICZNYM - bo wartości funkcji sinus nie otrzymujesz w wyniku działań algebraicznych, wykorzystujących zmienną \(\displaystyle{ x}\).

Czyli w tym przykładzie \(\displaystyle{ z^3 + z^2 +1 = 0 }\) to pierwiastków będzie 3 ? Nawet jak jest jeszcze \(\displaystyle{ z^2}\) ?

Tak, bo to jest wielomian trzeciego stopnia. \(\displaystyle{ z^2}\) nie ma tu nic do rzeczy, liczy się tylko najwyższa potęga.

Jeszcze tak się dopytam, to czemu w definicji (albo ja nie potrafię doczytać), że tylko wyrażenia typu \(\displaystyle{ x^n}\) mogą być jednomianami a inne wyrażenia już nie ?

Jakie "inne"?

Bo w niektórych miejscach piszę że to wyrażenia arytmetyczne, ale myślałem o tym że czemu \(\displaystyle{ sin(x)}\) albo inne np jakieś pierwiastki albo te gdzie \(\displaystyle{ 41^x}\) jest wyrażeniem tak jak to jest napisane w teorii ale nie pasuje.

A ja nie rozumiem, jakie ma być znaczenie tego zdania.

JK

[Xenon02]

\(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest tutaj wyrażeniem ? Czemu ?

\(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest wyrażeniem ALGEBRAICZNYM - bo wartości funkcji sinus nie otrzymujesz w wyniku działań algebraicznych, wykorzystujących zmienną \(\displaystyle{ x}\).

To jakim wyrażeniem jest \(\displaystyle{ \sin(x)}\), albo np jakim wyrażeniem jest \(\displaystyle{ a = b}\) bo to też wikipedia mówi że nie jest wyrażeniem algebraicznym.
Jeszcze co do \(\displaystyle{ \sin(x)}\) to też się nad tym zastanawiałem bo np \(\displaystyle{ \sin(x) = y/r}\) r - długość (od 0 do jakiegoś punktu P).
Więc niby są jakieś działania podstawowe jak dzielenie więc się zastanawiałem czemu akurat nie jest tym wyrażeniem algebraicznym. Wiem że to brzmi głupio i nie powinienem tego pytać w kontekście spraw bardziej złożonych jak liczby zespolone. Ale sam zwątpiłem w swoją wiedzę

Jeszcze tak się dopytam, to czemu w definicji (albo ja nie potrafię doczytać), że tylko wyrażenia typu \(\displaystyle{ x^n}\) mogą być jednomianami a inne wyrażenia już nie ?

Jakie "inne"?

Inne miałem na myśli wtedy wyrażenia typu \(\displaystyle{ 41^x}\) albo \(\displaystyle{ xy}\) \(\displaystyle{ cos(x)}\) \(\displaystyle{ \arcsin(x)}\) itd.
Bo nie było doprecyzowane w definicji jakie jednomiany są akceptowalne a jakie nie albo jak mówię sam nie zrozumiałem zbytnio tekstu.
Jak wspomniałeś wszystkie jednomiany są funkcjami ale nie wszystkie funkcje są jednomianami. Tak chciałem jakoś zrozumieć które funkcje można klasyfikować jako jednomiany.

[Jan Kraszewski]

To jakim wyrażeniem jest \(\displaystyle{ \sin(x)}\),

Funkcją trygonometryczną.

albo np jakim wyrażeniem jest \(\displaystyle{ a = b}\)

Wolisz odpowiedź "to jest równość" czy "jak każda równość termów jest to formuła języka pierwszego rzędu z równością"?

Jeszcze co do \(\displaystyle{ \sin(x)}\) to też się nad tym zastanawiałem bo np \(\displaystyle{ \sin(x) = y/r}\) r - długość (od 0 do jakiegoś punktu P).
Więc niby są jakieś działania podstawowe jak dzielenie więc się zastanawiałem czemu akurat nie jest tym wyrażeniem algebraicznym. Wiem że to brzmi głupio i nie powinienem tego pytać w kontekście spraw bardziej złożonych jak liczby zespolone. Ale sam zwątpiłem w swoją wiedzę

Mylisz syntaktykę z semantyką. \(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest wyrażeniem algebraicznym, a \(\displaystyle{ \frac{y}{r}}\) jest wyrażeniem algebraicznym i to jest syntaktyka. Natomiast to, że w pewnym kontekście wartość funkcji sinus można wyrazić za pomocą wyrażenia algebraicznego to już semantyka.

Inne miałem na myśli wtedy wyrażenia typu \(\displaystyle{ 41^x}\) albo \(\displaystyle{ xy}\) \(\displaystyle{ cos(x)}\) \(\displaystyle{ \arcsin(x)}\) itd.

Bo nie spełniają definicji jednomianu.

Bo nie było doprecyzowane w definicji jakie jednomiany są akceptowalne a jakie nie albo jak mówię sam nie zrozumiałem zbytnio tekstu.

W jakiej definicji? Co to znaczy "akceptowalne"?

Zapewne nie zrozumiałeś tekstu.

Jak wspomniałeś wszystkie jednomiany są funkcjami ale nie wszystkie funkcje są jednomianami. Tak chciałem jakoś zrozumieć które funkcje można klasyfikować jako jednomiany.

Już Ci to kilka razy pisałem: przeczytaj definicję jednomianu.

JK

[Xenon02]

Jak wspomniałeś wszystkie jednomiany są funkcjami ale nie wszystkie funkcje są jednomianami. Tak chciałem jakoś zrozumieć które funkcje można klasyfikować jako jednomiany.

Już Ci to kilka razy pisałem: przeczytaj definicję jednomianu.

Pisze tylko że jest to iloczynem liczby oraz zmiennych.
I w sumie to chyba o te zmienne głównie miałem problem ze zrozumieniem. Bo \(\displaystyle{ x^n}\) to i zmienna i funkcja, to \(\displaystyle{ y = x^2}\) to już nie jest zmienna ale jest funkcją. Jakby niby \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną ale ma podaną funkcję.

Gdybym miał \(\displaystyle{ y = x^2, w = y^2 + y}\) to czy "w" tutaj jest wielomianem ? Patrząc na to czy y jest jednomianem ?
Bo w sumie podobnie jest z zespolonymi \(\displaystyle{ z = x+jy, z^2+z = 0}\) To w sumie "z" jest funkcją, i jest też jednomianem.

Dlatego też miałem problem ze zrozumieniem innych funkcji. Np mogłem równie dobrze też zapisać \(\displaystyle{ y = 2^z}\) i napisać \(\displaystyle{ y^2 +1 = 0 }\) no i czy teraz 'y' jest jednomianem ? Sam w sobie \(\displaystyle{ 2^z}\) nie jest tym jednomianem bo to nie jest iloczyn liczby z zmienną.