Z cyfr 1,2,3,...,8

[max123321]

Z cyfr \(\displaystyle{ 1, 2, . . . , 8}\) utworzono dwie liczby \(\displaystyle{ 4}\)-cyfrowe, wykorzystując każdą cyfrę dokładnie raz.
Wykaż, że suma uzyskanych liczb jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Intuicyjnie widzę, że można tą liczbę rozłożyć na sumę \(\displaystyle{ 8}\) liczb, w których będą istniały pary liczb, które po zsumowaniu dadzą liczbę, której suma cyfr równa \(\displaystyle{ 9}\). No bo \(\displaystyle{ 1+8=9,2+7=9,3+6=9,4+5=9}\), ale nie wiem jak to jakoś ładnie matematycznie uzasadnić. Może mi ktoś z tym pomóc?

Dodano po 5 godzinach 27 minutach 18 sekundach:
Może się ktoś co do tego wypowiedzieć?

[kerajs]

Suma użytych cyfr jest wielokrotnością 9, więc reszty z dzielenia przez 9 obu liczb czterocyfrowych dopełnią się do 9.

[max123321]

Nie jest to dla mnie całkiem oczywiste. Dlaczego te z reszty z dzielenia przez 9 tych liczb miałyby się dopełnić do 9? Cecha podzielności przez 9 mówi tylko o sumie cyfr, nie mówi natomiast nic o resztach z dzielenia przez 9. Możesz to jakoś szerzej wytłumaczyć?

[Jan Kraszewski]

Cecha podzielności przez 9 mówi tylko o sumie cyfr, nie mówi natomiast nic o resztach z dzielenia przez 9.

Ależ mówi. Pełna wersja twierdzenia jest taka, że liczba przystaje do sumy swoich cyfr modulo \(\displaystyle{ 9}\).

JK

[max123321]

Ale czekaj, każda liczba? Czyli jak mamy dowolną liczbę, to suma jej cyfr to jest reszta z dzielenia przez 9? A jak liczba jest duża, to co powtarza się to rozumowanie? Np. 292, to suma cyfr to jest 13 i znowu sumujemy dostając 4 i to jest reszta z dzielenia przez 9? Jest to gdzieś oficjalnie napisane albo jakiś dowód? Bo ja znałem tylko to, że jak suma cyfr jest podzielna przez 9 to liczba też.

[Jan Kraszewski]

Ale czekaj, każda liczba?

Każda.

Czyli jak mamy dowolną liczbę, to suma jej cyfr to jest reszta z dzielenia przez 9?

Nic takiego nie napisałem. Napisałem, że dowolna liczba daje taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\), co suma jej cyfr.

A jak liczba jest duża, to co powtarza się to rozumowanie? Np. 292, to suma cyfr to jest 13 i znowu sumujemy dostając 4 i to jest reszta z dzielenia przez 9?

Tak.

Jest to gdzieś oficjalnie napisane albo jakiś dowód? Bo ja znałem tylko to, że jak suma cyfr jest podzielna przez 9 to liczba też.

Ale znany przez Ciebie fakt i ten podany przeze mnie mają ten sam (bardzo prosty) dowód... Po prostu liczysz różnicę liczby i sumy jej cyfr.

JK

[Math_Logic]

Ale znany przez Ciebie fakt i ten podany przeze mnie mają ten sam (bardzo prosty) dowód... Po prostu liczysz różnicę liczby i sumy jej cyfr.

Mógłbym prosić o uzasadnienie tego "po prostu"? Bo chyba czegoś nie zauważam. Pomysł fajny, ale wcale nie taki oczywisty.

[a4karo]

Wystarczy zauważyć, że `10^k-1` dzieli się przez `9`

[Jan Kraszewski]

Mógłbym prosić o uzasadnienie tego "po prostu"? Bo chyba czegoś nie zauważam. Pomysł fajny, ale wcale nie taki oczywisty.

Zrób sobie dowód np. dla liczby czterocyfrowej - od razu zauważysz, jak to uogólnić.

JK