Przyśpieszenie ciężarków na bloczku z poślizgiem

[Karol566]

Cześć, mam takie zadanie do zrobienia:
Dwa odważniki o masach \(\displaystyle{ m_1}\) i \(\displaystyle{ m_2}\) połączone są sznurkiem o zaniedbywalnej masie,
przerzuconym przez krążek o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i masie \(\displaystyle{ m_3}\). Obliczyć przyspieszenie
ruchu odważników, jeśli sznurek ślizga się po krążku a współczynnik tarcia kinetycznego wynosi \(\displaystyle{ \mu_k}\).

Bez poślizgu byłoby proste, ale nie wiem jak tutaj to uwzględnić z tą siłą tarcia.

[pkrwczn]

Niech \(\displaystyle{ m_1>m_2}\); równania ruchu,

\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon I=RT\\ a(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g-T\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon}\) i \(\displaystyle{ I}\) to odpowiednio przyspieszenie kątowe i moment bezwładności krążka, \(\displaystyle{ T=(m_1+m_2)g\mu}\) to siła tarcia,

\(\displaystyle{ a(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g-(m_1+m_2)g\mu ,}\)

\(\displaystyle{ a=\left( \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} -\mu\right)g .}\)

A jeśli \(\displaystyle{ m_1<m_2}\), to mamy \(\displaystyle{ a=\left( \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2} -\mu\right)g .}\)

Nie wiem, czy o to Ci chodziło, bo mamy system zachowawczy z tarciem czyli oksymoron. Jeśli tarcie powoduje nagrzanie się krążka to zadanie będzie bardziej skomplikowane i potrzebujemy więcej danych. Ale sprzeczności per se tutaj nie ma. Charakter siły tarcia jest wciąż raczej kiepsko zrozumiały.

[Karol566]

Dzięki wielkie za zainteresowanie, wydaje mi się, że coś za prosto tutaj poszło. Bloczek się nie nagrzewa, ale
według naszego profesora powinien nam taki wynik wyjść:

\(\displaystyle{ \frac{m_2- \frac{1+\mu}{1-\mu}m_1 }{m_1+ \frac{1+\mu}{1-\mu}m_2 }g. }\)

Może coś jest nie tak z tym zadaniem ;/

[pkrwczn]

Gdyby zmodyfikować siłę tarcia \(\displaystyle{ T'=m_1\mu(g-a)+m_2\mu(g+a)}\), czyli interpretacja taka, że masa \(\displaystyle{ m_1}\), skoro porusza się do góry z przyspieszeniem \(\displaystyle{ a}\) to waży mniej a masa \(\displaystyle{ m_2}\), skoro porusza się z przyspieszeniem \(\displaystyle{ a}\) w dół to waży więcej, co prowadzi do równania ruchu,
\(\displaystyle{ a(m_2+m_1)=(m_2-m_1)g-\left[m_1(g-a)+m_2(g+a) \right]\mu}\), co prowadzi do oczekiwanej odpowiedzi:

\(\displaystyle{ a=\frac{m_2- \frac{1+\mu}{1-\mu}m_1 }{m_1+ \frac{1+\mu}{1-\mu}m_2 }g}\).

Ale jest w tej interpretacji coś paradoksalnego. Nie wiem co, może i nawet jest poprawnie ale energia już nie jest zachowana i nie wiem, co by się z nią mogło stać.

Dalej uważam że powinno być

\(\displaystyle{ a=\left( \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} -\mu\right)g\ \ \ }\) dla \(\displaystyle{ \ \ \ m1>m2}\)

oraz

\(\displaystyle{ a=\left( \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2} -\mu\right)g\ \ \ }\) dla \(\displaystyle{ \ \ \ m2>m1}\).

Przydałaby się druga opinia.

[kruszewski]

Równanie momentów sił względem osi obrotu krążka o masie \(\displaystyle{ m_3}\) ma postać:

\(\displaystyle{ - I_o \cdot \varepsilon - r \cdot m_1(g+a) - T \cdot r + r \cdot m_2(g-a) = 0}\)
\(\displaystyle{ T = m_1 ( g + a ) \cdot ( e^{\mu \alpha } -1)}\)
oraz warunek poślizgu: \(\displaystyle{ \varepsilon < \frac{a}{r}}\)
Momentu bezwładności krążka nie można zaniedbać. Jeżeli podana jest jego masa i promień, oznacza to, że jest on krążkiem obracającym się na osi. Siła tarcia nici o krążek powoduje jego ruch obrotowy a bezwładność jest "oportunistyczna" dla tego ruchu.

[AiDi]

może i nawet jest poprawnie ale energia już nie jest zachowana i nie wiem, co by się z nią mogło stać.

A od kiedy tarcie kinetyczne zachowuje energię mechaniczną?

[siwymech]

Kod: Zaznacz cały

https://images90.fotosik.pl/448/3c4f6c784eb8adabmed.jpg

Propozycja rozw.
Rozdzielamy układ złożony na dwa podukłady- obciążników i krążka i wypisujemy równania dynamiczne ruchu.
1.Równania ruchu postępowego obciążników
\(\displaystyle{ m _{1} \cdot a=m _{1} \cdot g-S _{1} }\), (1)
\(\displaystyle{ m _{2} \cdot a=S _{2}-m _{2} \cdot g }\), (2)
/\(\displaystyle{ S _{1}, S _{2} }\)- napiecia(reakcje) w linie w części czynnej i biernej/
2. Równanie ruchu obrotowego dla krążka o masie \(\displaystyle{ m _{3} }\)i momencie bezwładnosci \(\displaystyle{ J _{o} }\) wzgl. osi obrotu przechodzącej przez p.O
\(\displaystyle{ J _{o} \cdot \varepsilon=(S _{1} -S _{2}) \cdot R+T \cdot R }\), (3)
3. Ponadto mamy zależności
Między przyśpieszeniami
\(\displaystyle{ a=\varepsilon \cdot R}\), (4)
Między napięciami w sznurze -w trakcie ruchu cięgno-sznur trze o krążek i zachodzi zależność
\(\displaystyle{ S _{1} -S _{2}=T }\) , (5)
Ponadto można wykorzystać wzór Eulera( tarcie cięgna o krążek)
\(\displaystyle{ S _{1} =S _{2} \cdot e ^{\mu _{k} \cdot \phi} }\), (6)
\(\displaystyle{ e \approx 2,71}\)- podstawa logarytmu Nepera, kat opasania \(\displaystyle{ \phi= \pi}\) , wsółcz. tarcia kinetycznego-\(\displaystyle{ \mu _{k}}\)
/ Nie podano kąta opasania sznura na krążku stąd przyjęto wartość \(\displaystyle{ \phi= \pi }\) /
Moment bezwładności krążka wzgl. osi obrotu
\(\displaystyle{ J _{o}= \frac{m _{3} \cdot R ^{2} }{2} }\), (7)

[kruszewski]

Napis:
\(\displaystyle{ a=\varepsilon \cdot R}\)
jest informacją o braku poślizgu między krążkiem a nicią a ten zgodnie z treścią zadania ma zachodzić.

Nie podano kąta opasania sznura na krążku...
Przerzucenie nici obciążonej ciężarkami przez krążek jednoznacznie określa kąt opasania krążka tą nicią.

[janusz47]

Pan Kruszewski pisze
"Napis:
\(\displaystyle{ a = \epsilon \cdot R }\)
jest informacją o braku poślizgu między krążkiem a nicią a ten zgodnie z treścią zadania ma zachodzić."

Ma nie zachodzić, bo zgodnie z treścią zadania "sznurek ślizga się po krążku".

[kruszewski]

W treści zadania ale i w tym zdaniu jest mowa o poślizgu który tam i tu jest podmiotem, a ten zgodnie z treścią zadania ma zachodzić. Zachodzenie (poślizgu) wyraża czynność podmiotu (ma zachodzić), jest tu orzeczeniem.

[janusz47]

Panie Kruszewski to proste zadanie jest z fizyki, dokładniej z mechaniki - dynamiki a nie z gramatyki.

[kruszewski]

To prawda, ale nawet w przypadku rozmowy o prostych zadaniach trzeba wiedzieć o czym rozmawiamy a to zapewnia nam gramatyczna poprawność wypowiadanych zdań.

.

[janusz47]

To prawda.

[pkrwczn]

może i nawet jest poprawnie ale energia już nie jest zachowana i nie wiem, co by się z nią mogło stać.

A od kiedy tarcie kinetyczne zachowuje energię mechaniczną?

No waśnie, zadanie prowadzi do sprzeczności i jest niefizyczne. Sprzeczność polega na tym, że siła tarcia nie rozprasza energi tylko w całości ją przekazuje dla krążka. Energia stracona podczas tarcia ma być nieodzyskiwalna.

A wasze rozwiązania wykorzystujące \(\displaystyle{ T_1=T_2 e^{\mu \pi}}\) do wyznaczenia tarcia są niepoprawne. Ta zależność nie ma żadnego sensu w tarciu kinetycznym \(\displaystyle{ T_1 \neq T_2 e^{\mu_k \pi}}\), natomiast tarcie statyczne nie występuje.

Chciałbym też zaznaczyć, że tak ogólnie dla mnie zadanie jest poprawnie zinterpretowane/rozwiązane kiedy odnosi się bezpośrednio do treści zadania, tak jak jest to zadanie sformułowane. Jeśli autor źle sformułował treść zadania to może oczekiwać innej odpowiedzi niz się spodziewa.

[kruszewski]

A wasze rozwiązania wykorzystujące \(\displaystyle{ T_1=T_2 e^{\mu \pi}}\) do wyznaczenia tarcia są niepoprawne.

Możliwe, ale co Pan proponuje w zamian?

Dodano po 1 godzinie 44 minutach 22 sekundach:
Można zauważyć, że do wyprowadzenie wzoru na napięcia liny opasującej walec, bęben, krążek, nie jest potrzebny warunek braku względnego ruchu liny i bębna ( braku poślizgu).
Stąd Pana zastrzeżenie wydaje się być bezzasadne.

Dodano po 3 minutach 38 sekundach:
Proszę popatrzeć na hamulce taśmowe.