Matematyka.pl

Cześć, mam takie zadanie do zrobienia:
Dwa odważniki o masach \(\displaystyle{ m_1}\) i \(\displaystyle{ m_2}\) połączone są sznurkiem o zaniedbywalnej masie,
przerzuconym przez krążek o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i masie \(\displaystyle{ m_3}\). Obliczyć przyspieszenie
ruchu odważników, jeśli sznurek ślizga się po krążku a współczynnik tarcia kinetycznego wynosi \(\displaystyle{ \mu_k}\).

Bez poślizgu byłoby proste, ale nie wiem jak tutaj to uwzględnić z tą siłą tarcia.

Niech \(\displaystyle{ m_1>m_2}\); równania ruchu,

\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon I=RT\\ a(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g-T\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon}\) i \(\displaystyle{ I}\) to odpowiednio przyspieszenie kątowe i moment bezwładności krążka, \(\displaystyle{ T=(m_1+m_2)g\mu}\) to siła tarcia,

\(\displaystyle{ a(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g-(m_1+m_2)g\mu ,}\)

\(\displaystyle{ a=\left( \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} -\mu\right)g .}\)

A jeśli \(\displaystyle{ m_1<m_2}\), to mamy \(\displaystyle{ a=\left( \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2} -\mu\right)g .}\)

Nie wiem, czy o to Ci chodziło, bo mamy system zachowawczy z tarciem czyli oksymoron. Jeśli tarcie powoduje nagrzanie się krążka to zadanie będzie bardziej skomplikowane i potrzebujemy więcej danych. Ale sprzeczności per se tutaj nie ma. Charakter siły tarcia jest wciąż raczej kiepsko zrozumiały.

Dzięki wielkie za zainteresowanie, wydaje mi się, że coś za prosto tutaj poszło. Bloczek się nie nagrzewa, ale
według naszego profesora powinien nam taki wynik wyjść:

\(\displaystyle{ \frac{m_2- \frac{1+\mu}{1-\mu}m_1 }{m_1+ \frac{1+\mu}{1-\mu}m_2 }g. }\)

Może coś jest nie tak z tym zadaniem ;/

Gdyby zmodyfikować siłę tarcia \(\displaystyle{ T'=m_1\mu(g-a)+m_2\mu(g+a)}\), czyli interpretacja taka, że masa \(\displaystyle{ m_1}\), skoro porusza się do góry z przyspieszeniem \(\displaystyle{ a}\) to waży mniej a masa \(\displaystyle{ m_2}\), skoro porusza się z przyspieszeniem \(\displaystyle{ a}\) w dół to waży więcej, co prowadzi do równania ruchu,
\(\displaystyle{ a(m_2+m_1)=(m_2-m_1)g-\left[m_1(g-a)+m_2(g+a) \right]\mu}\), co prowadzi do oczekiwanej odpowiedzi:

\(\displaystyle{ a=\frac{m_2- \frac{1+\mu}{1-\mu}m_1 }{m_1+ \frac{1+\mu}{1-\mu}m_2 }g}\).

Ale jest w tej interpretacji coś paradoksalnego. Nie wiem co, może i nawet jest poprawnie ale energia już nie jest zachowana i nie wiem, co by się z nią mogło stać.

Dalej uważam że powinno być

\(\displaystyle{ a=\left( \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} -\mu\right)g\ \ \ }\) dla \(\displaystyle{ \ \ \ m1>m2}\)

oraz

\(\displaystyle{ a=\left( \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2} -\mu\right)g\ \ \ }\) dla \(\displaystyle{ \ \ \ m2>m1}\).

Przydałaby się druga opinia.

Równanie momentów sił względem osi obrotu krążka o masie \(\displaystyle{ m_3}\) ma postać:

\(\displaystyle{ - I_o \cdot \varepsilon - r \cdot m_1(g+a) - T \cdot r + r \cdot m_2(g-a) = 0}\)
\(\displaystyle{ T = m_1 ( g + a ) \cdot ( e^{\mu \alpha } -1)}\)
oraz warunek poślizgu: \(\displaystyle{ \varepsilon < \frac{a}{r}}\)
Momentu bezwładności krążka nie można zaniedbać. Jeżeli podana jest jego masa i promień, oznacza to, że jest on krążkiem obracającym się na osi. Siła tarcia nici o krążek powoduje jego ruch obrotowy a bezwładność jest "oportunistyczna" dla tego ruchu.

pkrwczn pisze: 1 gru 2020, o 05:19 może i nawet jest poprawnie ale energia już nie jest zachowana i nie wiem, co by się z nią mogło stać.

A od kiedy tarcie kinetyczne zachowuje energię mechaniczną?

Propozycja rozw.
Rozdzielamy układ złożony na dwa podukłady- obciążników i krążka i wypisujemy równania dynamiczne ruchu.
1.Równania ruchu postępowego obciążników
\(\displaystyle{ m _{1} \cdot a=m _{1} \cdot g-S _{1} }\), (1)
\(\displaystyle{ m _{2} \cdot a=S _{2}-m _{2} \cdot g }\), (2)
/\(\displaystyle{ S _{1}, S _{2} }\)- napiecia(reakcje) w linie w części czynnej i biernej/
2. Równanie ruchu obrotowego dla krążka o masie \(\displaystyle{ m _{3} }\)i momencie bezwładnosci \(\displaystyle{ J _{o} }\) wzgl. osi obrotu przechodzącej przez p.O
\(\displaystyle{ J _{o} \cdot \varepsilon=(S _{1} -S _{2}) \cdot R+T \cdot R }\), (3)
3. Ponadto mamy zależności
Między przyśpieszeniami
\(\displaystyle{ a=\varepsilon \cdot R}\), (4)
Między napięciami w sznurze -w trakcie ruchu cięgno-sznur trze o krążek i zachodzi zależność
\(\displaystyle{ S _{1} -S _{2}=T }\) , (5)
Ponadto można wykorzystać wzór Eulera( tarcie cięgna o krążek)
\(\displaystyle{ S _{1} =S _{2} \cdot e ^{\mu _{k} \cdot \phi} }\), (6)
\(\displaystyle{ e \approx 2,71}\)- podstawa logarytmu Nepera, kat opasania \(\displaystyle{ \phi= \pi}\) , wsółcz. tarcia kinetycznego-\(\displaystyle{ \mu _{k}}\)
/ Nie podano kąta opasania sznura na krążku stąd przyjęto wartość \(\displaystyle{ \phi= \pi }\) /
Moment bezwładności krążka wzgl. osi obrotu
\(\displaystyle{ J _{o}= \frac{m _{3} \cdot R ^{2} }{2} }\), (7)

Napis:
\(\displaystyle{ a=\varepsilon \cdot R}\)
jest informacją o braku poślizgu między krążkiem a nicią a ten zgodnie z treścią zadania ma zachodzić.

Nie podano kąta opasania sznura na krążku...
Przerzucenie nici obciążonej ciężarkami przez krążek jednoznacznie określa kąt opasania krążka tą nicią.

Pan Kruszewski pisze
"Napis:
\(\displaystyle{ a = \epsilon \cdot R }\)
jest informacją o braku poślizgu między krążkiem a nicią a ten zgodnie z treścią zadania ma zachodzić."

Ma nie zachodzić, bo zgodnie z treścią zadania "sznurek ślizga się po krążku".

W treści zadania ale i w tym zdaniu jest mowa o poślizgu który tam i tu jest podmiotem, a ten zgodnie z treścią zadania ma zachodzić. Zachodzenie (poślizgu) wyraża czynność podmiotu (ma zachodzić), jest tu orzeczeniem.

Panie Kruszewski to proste zadanie jest z fizyki, dokładniej z mechaniki - dynamiki a nie z gramatyki.

To prawda, ale nawet w przypadku rozmowy o prostych zadaniach trzeba wiedzieć o czym rozmawiamy a to zapewnia nam gramatyczna poprawność wypowiadanych zdań.

.

To prawda.

AiDi pisze: 1 gru 2020, o 08:53

pkrwczn pisze: 1 gru 2020, o 05:19 może i nawet jest poprawnie ale energia już nie jest zachowana i nie wiem, co by się z nią mogło stać.

A od kiedy tarcie kinetyczne zachowuje energię mechaniczną?

No waśnie, zadanie prowadzi do sprzeczności i jest niefizyczne. Sprzeczność polega na tym, że siła tarcia nie rozprasza energi tylko w całości ją przekazuje dla krążka. Energia stracona podczas tarcia ma być nieodzyskiwalna.

A wasze rozwiązania wykorzystujące \(\displaystyle{ T_1=T_2 e^{\mu \pi}}\) do wyznaczenia tarcia są niepoprawne. Ta zależność nie ma żadnego sensu w tarciu kinetycznym \(\displaystyle{ T_1 \neq T_2 e^{\mu_k \pi}}\), natomiast tarcie statyczne nie występuje.

Chciałbym też zaznaczyć, że tak ogólnie dla mnie zadanie jest poprawnie zinterpretowane/rozwiązane kiedy odnosi się bezpośrednio do treści zadania, tak jak jest to zadanie sformułowane. Jeśli autor źle sformułował treść zadania to może oczekiwać innej odpowiedzi niz się spodziewa.

A wasze rozwiązania wykorzystujące \(\displaystyle{ T_1=T_2 e^{\mu \pi}}\) do wyznaczenia tarcia są niepoprawne.

Możliwe, ale co Pan proponuje w zamian?

Dodano po 1 godzinie 44 minutach 22 sekundach:
Można zauważyć, że do wyprowadzenie wzoru na napięcia liny opasującej walec, bęben, krążek, nie jest potrzebny warunek braku względnego ruchu liny i bębna ( braku poślizgu).
Stąd Pana zastrzeżenie wydaje się być bezzasadne.

Dodano po 3 minutach 38 sekundach:
Proszę popatrzeć na hamulce taśmowe.