granice funkcji wielu zmiennych

[studentka_1]

Witam, mam problem z 3 przykładami zadań... nie wiem jak się za to zabrać
1. Wykaż, że granica nie istnieje:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (-1,-1)}{\frac{x^2y}{x^4+y^2}}}\) wiem, że \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\) ale nie mam pojęcia jakie zeby zmierzały do \(\displaystyle{ -1}\).
2.Pokaż, że (po pierwsze) podana funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) nie jest ciągła na \(\displaystyle{ \RR^2}\); (po 2) nie istnieje granica funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x,y) = (0,0)}\):
a) \(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^4+y^2}&\text{gdy }x^2+y^2>0\\0&\text{gdy } x^2+y^2=0\end{cases}}\)
b) \(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^3}{x^2+y^6}&\text{gdy } x^2+y^2>0\\ \frac12&\text{gdy } x^2+y^2=0\end{cases}}\)
Przepraszam, że ułamki w takiej wersji, jednak system latex cos nie wyrabia przy zadaniu 2 to ma byc układ klamra też się nie pojawiła w podglądzie

[Jan Kraszewski]

Przepraszam, że ułamki w takiej wersji, jednak system latex cos nie wyrabia

To nie \(\displaystyle{ \LaTeX}\) nie wyrabia, tylko Ty go źle używasz, w dodatku w jednym miejscu nie zamknęłaś tagów. Najprościej zwalić na biednego \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a...

JK

[janusz47]

1)
np:
\(\displaystyle{ (x_{n}, \ \ y_{n}) = \left (\frac{1}{n} -1, \ \ \frac{1}{n} -1\right), }\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty. }\)

[Jan Kraszewski]

1. Wykaż, że granica nie istnieje:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (-1,-1)}{\frac{x^2y}{x^4+y^2}}}\) wiem, że \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\) ale nie mam pojęcia jakie zeby zmierzały do \(\displaystyle{ -1}\).

To na pewno taka granica? Bo nie bardzo widzę, czemu ta granica miałaby nie istnieć (i nie wynosić \(\displaystyle{ -\frac12}\)).

JK

[studentka_1]

1. Wykaż, że granica nie istnieje:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (-1,-1)}{\frac{x^2y}{x^4+y^2}}}\) wiem, że \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\) ale nie mam pojęcia jakie zeby zmierzały do \(\displaystyle{ -1}\).

To na pewno taka granica? Bo nie bardzo widzę, czemu ta granica miałaby nie istnieć (i nie wynosić \(\displaystyle{ -\frac12}\)).

JK

Faktycznie, zmieniałam i przekopiowałam wzor z zadania 2..., poprawnie powinno byc:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,-1)}\frac{xy+x+y+1}{x+y+2}}\) tak to jest jak się człowiek spieszy

Dodano po 42 sekundach:

Przepraszam, że ułamki w takiej wersji, jednak system latex cos nie wyrabia

To nie \(\displaystyle{ \LaTeX}\) nie wyrabia, tylko Ty go źle używasz, w dodatku w jednym miejscu nie zamknęłaś tagów. Najprościej zwalić na biednego \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a...

JK

Przepraszam w takim razie

[Jan Kraszewski]

Faktycznie, zmieniałam i przekopiowałam wzor z zadania 2..., poprawnie powinno byc:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,-1)}\frac{xy+x+y+1}{x+y+2}}\) tak to jest jak się człowiek spieszy

Jak podstawisz \(\displaystyle{ s=x+1, t=y+1}\), to będziesz miała

\(\displaystyle{ \lim_{(s,t)\rightarrow(0,0)}\frac{st}{s+t}.}\)

Może będzie Ci łatwiej pokazać nieistnienie tej granicy.

JK

[studentka_1]

Faktycznie, zmieniałam i przekopiowałam wzor z zadania 2..., poprawnie powinno byc:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,-1)}\frac{xy+x+y+1}{x+y+2}}\) tak to jest jak się człowiek spieszy

Jak podstawisz \(\displaystyle{ s=x+1, t=y+1}\), to będziesz miała

\(\displaystyle{ \lim_{(s,t)\rightarrow(0,0)}\frac{st}{s+t}.}\)

Może będzie Ci łatwiej pokazać nieistnienie tej granicy.

JK

Niestety dalej nie mam pomysłu

[Premislav]

Po tym podstawieniu rozważ np. ciągi punktów \(\displaystyle{ \left(0, \frac{1}{n}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n}, -\frac{1}{n+1}\right)}\)

[studentka_1]

Po tym podstawieniu rozważ np. ciągi punktów \(\displaystyle{ \left(0, \frac{1}{n}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n}, -\frac{1}{n+1}\right)}\)

dziękuję serdecznie od razu lepiej
a czy może do 2 zadanka mogłabym dostac jakies wskazówki?

[Premislav]

W 2a) proponuję rozważyć ciągi punktów \(\displaystyle{ \left(0, \frac{1}{ n}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^{2}}\right)}\),
natomiast w 2b) zadziałają ciągi punktów \(\displaystyle{ \left(0, \frac{1}{n}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n^{3}}, \frac{1}{n}\right)}\). Dzięki temu w obu podpunktach wykażesz, że granica w \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje, ergo funkcje nie są ciągłe na całym \(\displaystyle{ \RR^{2}}\), bo nie są ciągłe w \(\displaystyle{ (0,0)}\) właśnie (żeby były ciągłe, wartość funkcji w \(\displaystyle{ (0,0)}\) musiałaby być równa granicy funkcji w tym punkcie, no ale skoro granica nie istnieje, to tak być nie może).