Matematyka.pl

1. Zbadaj zbieżność oraz oblicz granicę następujących ciągów:

a) \(\displaystyle{ a_{1}>0 a_{n+1}=ln(1+a_{n})}\)
b) \(\displaystyle{ a_{1}=1 a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}}\)

2. Oblicz granicę ciągów:
a) \(\displaystyle{ a_{n}=n\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2n^{3}+5n^{2}-7}}\)
b) \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2^{n}n!}{n^{n}}}\)
c) \(\displaystyle{ a_{n}=sin^{2}(\pi\sqrt{n^{2}+n})}\)

zad 2
a) skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ a=n \sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ b=n \sqrt[3]{2n^3+5n^2-7}}\)
przemnóż licznik i mianownik przez brakujący czynnik
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2=\left(n \sqrt[3]{2}\right)^2+n \sqrt[3]{2}n \sqrt[3]{2n^3+5n^2-7}+ ft(n \sqrt[3]{2n^3+5n^2-7}\right)^2}\)

ostateczny wynik: \(\displaystyle{ -\frac{5}{3 2^{2/3}}}\)

Robiłem dokładnie tak samo, tylko wydawało mi się, że jest inna jakaś inna metoda, by się nie męczyć z tym liczeniem. Poza tym chyba za bardzo sie przyzwyczaiłem do ładnych wyników w szkole średniej

PS
\(\displaystyle{ b=\sqrt[3]{2n^{3}+5n^{2}-7}}\)

2b.
Skorzystaj z twierdzenia z przedostatniego postu https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=40255 . Nie liczyłem ale powinno wyjść

Ehh...

Tydzień zajęło mi dojście do tego, że \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}\) a nie \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{n^{n+1}}}\)

Dzięki za pomoc.