Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie liczby całkowite, dodatnie spełniające podaną równość.

\(\displaystyle{ (x+y)^{2}-2(xy)^{2}=1}\)

LaTeX nie gryzie https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52

\(\displaystyle{ (x+y)^2-2(xy)^2=1}\)
\(\displaystyle{ (x+y)^2-4(xy)^2=1-2(xy)^2}\)
\(\displaystyle{ (x+y)^2(x-y)^2=1-2(xy)^2}\)
\(\displaystyle{ L>0,\ P1}\) wiec rownanie nie ma rozwiazan

W jaki sposób przekształciłeś tą różnice(lewa strona)z ll linijki na czynniki:
\(\displaystyle{ (x+y)^2(x-y)^2}\)

Wzor na roznice kwadratow: \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\)

Tak w woli scislosci to:
\(\displaystyle{ (x+y)^2-(2xy)^2=
(x+y-2xy)(x+y+2xy)\neq (x+y)^{2}(x-y)^{2}}\)

Kombinuj dalej. POZDRO

Jak juz cos to w gwoli ścisłości.

\(\displaystyle{ (x+y-1)(x+y+1) = 2 (xy)^2 \\
NWD(x,y)=1}\)

niech \(\displaystyle{ t=x+y}\) , \(\displaystyle{ u=xy}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-2u^{2}=1}\)
Sprawdzając pierwsze kwadraty liczb naturalnych łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ 9-2*4=1}\) czyli t=3 i u =2. Zmienne x i y już łatwo obliczyć.
Dobrze by było jeszcze udowodnić, że to jedyne rozwiązanie. Z tym mam problem ale spróbowałbym tak:
\(\displaystyle{ u^{2}=\frac{t^{2}-1}{2}=\frac{(t-1)(t+1)}{2}}\)
t musi być nieparzyste
niech \(\displaystyle{ t-1=2n}\) n>0
\(\displaystyle{ u^{2}=\frac{2n(2n+2)}{2}=2n(n+1)}\)
\(\displaystyle{ 2n=n+1}\) lub \(\displaystyle{ n=2(n+1)}\)
n=1, t=3, u=2
Co do tego dowodu to ja nie jestem przekonany no ale niech tak jest.

koncowka troche nie taka, mozna tez tak
\(\displaystyle{ 2 | u, \ \ u = 2 k\\
k^2 = \frac{n(n+1)}{2} \\}\)


na stronie om.edu.pl jest rozwiazanie, " rozwiązania niefirmowe "