Wyznacz...

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 12 razy

Wyznacz...

Post autor: kluczyk » 9 sie 2007, o 17:05

Wyznacz wszystkie liczby całkowite, dodatnie spełniające podaną równość.

\(\displaystyle{ (x+y)^{2}-2(xy)^{2}=1}\)

LaTeX nie gryzie http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52
Ostatnio zmieniony 9 sie 2007, o 18:30 przez kluczyk, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Wyznacz...

Post autor: bullay » 9 sie 2007, o 17:39

\(\displaystyle{ (x+y)^2-2(xy)^2=1}\)
\(\displaystyle{ (x+y)^2-4(xy)^2=1-2(xy)^2}\)
\(\displaystyle{ (x+y)^2(x-y)^2=1-2(xy)^2}\)
\(\displaystyle{ L>0,\ P1}\) wiec rownanie nie ma rozwiazan

Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 12 razy

Wyznacz...

Post autor: kluczyk » 9 sie 2007, o 18:28

W jaki sposób przekształciłeś tą różnice(lewa strona)z ll linijki na czynniki:
\(\displaystyle{ (x+y)^2(x-y)^2}\)


bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Wyznacz...

Post autor: bullay » 9 sie 2007, o 20:14

Wzor na roznice kwadratow: \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Wyznacz...

Post autor: soku11 » 9 sie 2007, o 20:23

Tak w woli scislosci to:
\(\displaystyle{ (x+y)^2-(2xy)^2=
(x+y-2xy)(x+y+2xy)\neq (x+y)^{2}(x-y)^{2}}\)


Kombinuj dalej. POZDRO

Awatar użytkownika
Kostek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 12 lis 2005, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sidzina/Kraków
Pomógł: 21 razy

Wyznacz...

Post autor: Kostek » 9 sie 2007, o 20:32

Jak juz cos to w gwoli ścisłości.

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Wyznacz...

Post autor: przemk20 » 9 sie 2007, o 21:27


\(\displaystyle{ (x+y-1)(x+y+1) = 2 (xy)^2 \\
NWD(x,y)=1}\)

Ostatnio zmieniony 10 sie 2007, o 18:28 przez przemk20, łącznie zmieniany 1 raz.

Derek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 lut 2005, o 19:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żużela
Pomógł: 1 raz

Wyznacz...

Post autor: Derek » 9 sie 2007, o 22:33

niech \(\displaystyle{ t=x+y}\) , \(\displaystyle{ u=xy}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-2u^{2}=1}\)
Sprawdzając pierwsze kwadraty liczb naturalnych łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ 9-2*4=1}\) czyli t=3 i u =2. Zmienne x i y już łatwo obliczyć.
Dobrze by było jeszcze udowodnić, że to jedyne rozwiązanie. Z tym mam problem ale spróbowałbym tak:
\(\displaystyle{ u^{2}=\frac{t^{2}-1}{2}=\frac{(t-1)(t+1)}{2}}\)
t musi być nieparzyste
niech \(\displaystyle{ t-1=2n}\) n>0
\(\displaystyle{ u^{2}=\frac{2n(2n+2)}{2}=2n(n+1)}\)
\(\displaystyle{ 2n=n+1}\) lub \(\displaystyle{ n=2(n+1)}\)
n=1, t=3, u=2
Co do tego dowodu to ja nie jestem przekonany no ale niech tak jest.

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Wyznacz...

Post autor: przemk20 » 10 sie 2007, o 18:24

koncowka troche nie taka, mozna tez tak
\(\displaystyle{ 2 | u, \ \ u = 2 k\\
k^2 = \frac{n(n+1)}{2} \\}\)



na stronie om.edu.pl jest rozwiazanie, " rozwiązania niefirmowe "

ODPOWIEDZ