pochodna cosx^sinx

rewgh · Post autor: **rewgh** » 26 lis 2006, o 10:55

proszę o pmoc w rozwiazaniu zadania : y=cos^sinx
z góry Dziękuje

Uzo · Post autor: **Uzo** » 26 lis 2006, o 11:03

\(\displaystyle{ (cos^{sinx})'=(e^{sinxlncosx})'=e^{sinxlncosx}(sinxlncosx)'=\\
=e^{sinxlncosx}(cosxlncosx+sinx(lncosx)')=\\
=e^{sinxlncosx}(cosxlncosx+sinx(\frac{1}{cosx})(-sinx))=\\
=e^{sinxlncosx}(cosxlncosx-sinxtgx)}\)

rewgh · Post autor: **rewgh** » 26 lis 2006, o 11:11

a masz moze rpelne rozwiazanie pchodnej z x^x

Uzo · Post autor: **Uzo** » 26 lis 2006, o 11:17

Robisz to analogicznie
\(\displaystyle{ (x^{x})'=(e^{xlnx})'=e^{xlnx}(xlnx)'=x^{x}(lnx+x\frac{1}{x})=x^{x}(lnx+1)}\)

rewgh · Post autor: **rewgh** » 26 lis 2006, o 11:26

a czemu x^x jest rowne e^xlnx .. nie rozumiem tego przeksztalcenia

Uzo · Post autor: **Uzo** » 26 lis 2006, o 11:33

wynika to z własności funkcji logarytmicznej :
\(\displaystyle{ Jezeli \: (a\in(0,1)\cup(1,+\infty) ) x\in R_{+} p\in R \\
to \\
a^{log_{a}x}=x \\
log_{a}x^{p}=plog_{a}x}\)

bolo · Post autor: **bolo** » 26 lis 2006, o 11:46

Wyprowadzenie dla \(\displaystyle{ \left[f(x)^{g(x)\right]'}\):

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=15491

I dla \(\displaystyle{ \left[f(x)^{g(x)^{h(x)}\right]'}\):

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=15735

Tomo20 · Post autor: **Tomo20** » 1 gru 2009, o 22:11

A odwrotnie?
Pochodna z
\(\displaystyle{ {(sinx)^{cosx}}\)