Matematyka.pl

Załóżmy , że \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem skończonym. Niech np. \(\displaystyle{ X=\left\{ a,b,c\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ a\right\} \in \sigma}\).
Moja propozycja: Wówczas \(\displaystyle{ \sigma =\left\{ \emptyset,X,\left\{ a\right\},\left\{ b,c\right\} \right\} }\). Wydaje mi się, że dla zbioru przeliczalnego \(\displaystyle{ X}\) jest analogicznie. A co jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest nieprzeliczalny? Np. \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\). Czy wtedy też \(\displaystyle{ \sigma=\left\{ X,\emptyset,\left\{ a\right\},(-\infty;a)\cup(a;\infty) \right\} }\)?

A gdzie tu jest polecenie do tego zadania?

Nie istnieje? Czyli to sigma ciało, które napisałem w przykładzie np. dla zbioru \(\displaystyle{ X=\left\{ a,b,c\right\} }\) nie istnieje?

Jeśli chodzi Ci o \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) generowane przez \(\displaystyle{ \{ \{ a \} \}}\) (czego nie napisałeś wprost), to ono jak najbardziej istnieje i jest takie jak przypuszczasz, zarówno dla \(\displaystyle{ X}\) skończonego, jak i dla \(\displaystyle{ X = \RR}\). Ogólnie \(\displaystyle{ \sigma( \{ \{ a \} \} ) = \{ \varnothing, X, \{ a \}, X \setminus \{ a \} \}}\).