Matematyka.pl

1.Opisać wszystkie \(\displaystyle{ \sigma}\) -ciała w przypadku przeliczalnego zbioru \(\displaystyle{ \Omega.}\)
2.Czy istnieje nieskończone \(\displaystyle{ \sigma}\) -ciało przeliczalne?

2. Takie \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało nie istnieje. Istotnie, założmy \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest przeliczalnie nieskończonym \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega}\). Wówczas sam zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) jest nieskończony. Dla \(\displaystyle{ \omega\in \Omega}\) niech \(\displaystyle{ f(\omega)}\) będzie najmniejszym zbiorem z \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\), który zawiera \(\displaystyle{ \omega}\). Taka definicja jest poprawna bo \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest przeliczalne, a jako \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało jest zamknięte na przeliczalne przekroje. Rodzina

\(\displaystyle{ \{f(\omega)\colon \omega\in \Omega\}}\)

jest rozbiciem \(\displaystyle{ \Omega}\) na zbiory parami rozłączne, które należą do \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\). Rodzina ta musi być nieskończona. Dla każdego przeliczalnego zbioru \(\displaystyle{ E\subseteq \Omega}\) zbiór

\(\displaystyle{ \hat{E}=\bigcup_{\omega\in E} f(\omega)}\)

jest elementem \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\). Funkcja \(\displaystyle{ E\mapsto \hat{E}}\) różnowartościowo odwzorowuje rodzinę \(\displaystyle{ [\Omega]^{\leqslant \aleph_0}}\) składającą się przeliczalnych podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega}\) w \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\). Mamy ostatecznie

\(\displaystyle{ |\mathcal{F}|\geqslant |[\Omega]^{\leqslant \aleph_0}|\geqslant 2^{\aleph_0}.}\)