Matematyka.pl

Na odcinku [0,1] umieszczono 3 punkty x_{1} , x_{2} , x_{3} . Oblicz prawdopodobieństwo, że x_{1} \le x_{2} \le x_{3}

Spotkałem się z rozwiązaniem tego zadania geometrycznie (objętosć prostopadłoscianu), obliczenia wyglądały następująco:

P = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6 ...

Witam, do obliczenia mam długości łuków:

\(\displaystyle{ y=ln(1-x^{2}), 0 \le x \le \frac{1}{2}\\ \\
y=\int_{-\frac{ \pi }{2} }^{x} \sqrt{cosx}\\ \\
y=ln \frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}, a \le x \le b \\}\)

Będę wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu.

Witam. Mam prośbę o pomoc z rozwiązaniem następującej całki:
\int cos(lnx)dx
Prosi się o podstawienie zmiennej za lnx , ale nie mam pomysłu co dalej.

Mam też pytanie do całki:
\int x^{2}e^{x}sinx dx
Wiem, że da się ją rozwiązać, kilka razy stosując metodę przez części i różne postawienia, ale ...

Rozwiązujesz po prostu nierówność:

\frac{4-2x}{3x+d}<0

Jest ona równoważna z nierównością:

(4-2x)(3x+d)<0\\
-\frac{2}{3}(x-2)(x+\frac{d}{3})<0

Jeden z czynników wyszedł x-2, czyli zgadza się z treścią zadania. Wiadomo, że drugi czynnik musi być x+1, czyli:

\frac{d}{3}=1 \Rightarrow d=3

Drugi będzie tak:

\(\displaystyle{ W(x)=(5-3x)(x+4)+(3x-5)(2x-3)-25+9x^{2}\\
W(x)=-(3x-5)(x+4)+(3x-5)(2x-3)+(3x-5)(3x+5)\\
W(x)=(3x-5)(-x-4+2x-3+3x+5)\\
W(x)=(3x-5)(4x-2)\\
W(x)=2(3x-5)(2x-1)}\)

W przejściu z pierwszej do drugiej linijki wykorzystałem wzór na różnicę kwadratów.

Witam. Mam problem z niepozornie wyglądającą całką:
\int\frac{dx}{1+x^{4}}
Na pierwszy rzut oka wydawało mi się, że wystarczy proste podstawienie, ale niestety nie jest to aż tak przyjemny przykład. Nie mam szczerze mówiąc pomysłu jak się za to zabrać.

Mam też problem z inną, poważniej ...

Dzięki wielkie, rozwiązanie z całkowaniem najpierw przez części jest na pewno bardziej eleganckie niż rozbijanie od razu na ułamki proste - pewnie współczynniki wychodzą w ten sposób, ale rachunki są jednak dość nieprzyjemne.

Witam. Mam problem z jedną z całek z zestawu, który dostałem do rozwiązania:
\int \frac{2xdx}{(1+x)(1+x^{2})^{2} }
Rozłożyłem wyrażenie pod całką na ułamki proste:
\frac{2xdx}{(1+x)(1+x^{2})^{2} }=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}+\frac{Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}
...ale nie wszystkie współczynniki ...