Matematyka.pl

Rozpisz sobie kosinusa z 1 trygonometrycznej, a potem podstaw \(\displaystyle{ t=\sin^2{x}}\) i rozwiąż równanie dwukwadratowe

No nie przy tym zapisie, ale wystarczy zmienić na \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}^2}\) i już można to zamienić na \(\displaystyle{ (\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n})^2}\)

Współrzędne to raczej walcowe. Standardowo wtedy:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=r \\
x=r\cos\phi\\
y=r\sin\phi \\
z=z}\)

Jak się w takim razie zmienia r? Czy są jakieś ograniczenia na \(\displaystyle{ \phi}\)? No i pamiętaj wtedy jak wygląda Jakobian.

Możesz liczyć w ten sposób, możesz też wejść pod potęgę z granicą, jest ok.

djpierug pisze:\(\displaystyle{ a \frac{ y^{2} - x^{2} }{ ( x^{2} + y^{2} )^{2} } - a \frac{ x^{2} - y^{2} }{ ( x^{2} + y^{2} )^{2} } =0}\)

Czy aby na pewno?

\(\displaystyle{ g(x)=f(x-5)-5}\)

Co trzeba zatem wykonać?

Obszar jest ograniczony zadanymi krzywymi - to znaczy, że miejsca, w których się one przecinają zadają przedział zmienności x. A jak zmienia się y? Narysuj sobie ten obszar - krzywe pokażą granice, w jakich zmienia się y.

Tylko dla lambdy=2 dlaczego mnożyłeś po prawej stronie te współrzędne [x,y,z] x2? Czy na to samo by wyszło jakby odjąć te lambdy po przekątnej i przyrównać do 0 tak jak w poprzednim przypadku?
Nie, nie wyszłoby.

(A-\lambda\mathbb{I})x=0 \Leftrightarrow Ax-\lambda\mathbb{I}x=0 \Leftrightarrow Ax ...

michal9245 pisze: Dla \(\displaystyle{ \lambda= 0}\) otrzymuję
\(\displaystyle{ \left [\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\2&-1&3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x&y&z\\\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0&0&0\\\\\end{array}\right]}\)

A skąd Ci się wzięła ta nowa macierz?

Ta funkcja to nic innego jak kwadrat długości promienia wodzącego

Jeżeli tego nie widzisz, to wyobraź sobie, że poszedłeś sobie ze środka układu współrzędnych o 3 jednostki po x, 4 jednostki po y oraz 12 jednostek po z i zastanów się jak daleko od środka układu jesteś.

Tu się prosi o współrzędne sferyczne:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=r^2}\)
Zaś \(\displaystyle{ \det\Phi'=r^2\sin\theta}\)

Granice:
\(\displaystyle{ 0<r<2\\
0<\theta<\frac{\pi}{2}\\
0<\phi<2\pi}\)

Więc całkujesz ostatecznie funkcję w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{2}r^4\sin\theta dr}\)

0<y \Leftrightarrow r\sin\phi\sin\theta>0 Wiesz jak się zmienia r , wiesz jak się zmienia \theta , zmienność obydwu ma taki zakres, że tylko \sin\phi może zmieniać znak całości. Więc trzeba tak dobrać, żeby nie zmieniało. Standardowo \phi\in[0;2\pi] , a że interesują nas tylko dodatnie wartości ...

Granice są źle, \(\displaystyle{ \phi}\) zmienia się w zakresie \(\displaystyle{ [0;\pi]}\).

Odpowiedz sobie na te pytania, wtedy zadanie będzie proste

Jak rozkładają się ładunki? Jaki jest potencjał takiej kuli? Jaka jest energia potencjalna w niej zgromadzona?