Całka potrójna, współrzędne sferyczne.

[Jajecznica]

Witam.
mam problem z całeczką \(\displaystyle{ \iiint \left( yz\right) dxdydz}\)
dane to
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} +z ^{2}=9}\)
\(\displaystyle{ z>0}\)
\(\displaystyle{ y>0}\)

Moim zdaniem współrzędne określają takie zależności:
\(\displaystyle{ 0 \le \theta \le \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \pi \le \phi \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ 0<r<3}\)

Po zamianie na wsp. sferyczne mam?
\(\displaystyle{ \iiint (r ^{4} \sin\theta \cos ^{2} \theta \sin\phi) dr d\phi d\theta}\)

Robiąc dalej wychodzi mi wynik inny od tego w odpowiedzi, czyli \(\displaystyle{ \frac{2}{5}3 ^{4}}\)
I dziura w głowie, nie wiem nie umiem.

-- 25 cze 2012, o 15:51 --

Jest! Tylko znak mi się nie zgadza!

[MarkoseK]

Granice są źle, \(\displaystyle{ \phi}\) zmienia się w zakresie \(\displaystyle{ [0;\pi]}\).

[Jajecznica]

Nie rozumiem dlaczego ;( Patrzymy od strony dodatniej na iksach i lecimy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, tak?

Ale w tym przypadku to i tak nie ma to znaczenia

[MarkoseK]

\(\displaystyle{ 0<y \Leftrightarrow r\sin\phi\sin\theta>0}\) Wiesz jak się zmienia \(\displaystyle{ r}\), wiesz jak się zmienia \(\displaystyle{ \theta}\), zmienność obydwu ma taki zakres, że tylko \(\displaystyle{ \sin\phi}\) może zmieniać znak całości. Więc trzeba tak dobrać, żeby nie zmieniało. Standardowo \(\displaystyle{ \phi\in[0;2\pi]}\), a że interesują nas tylko dodatnie wartości sinusa to dobór użytej części przedziału nasuwa się sam.

[Jajecznica]

Dzięki.

Słuchaj, a jak zabrać się za \(\displaystyle{ \iiint (x ^{2}+y^{2}+z^{2})dxdydz}\)
Tam jest omega określona
\(\displaystyle{ x ^{2}+y^{2}+z^{2}=4}\)
\(\displaystyle{ z \ge 0}\)


Mam problem po prostu, nie mogę dojść jak to scałkować. Jest sposób na taką potęgową sumę?

Podstawiając wsp. sferyczne wychodzi mi m.in. \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sin ^{3}\theta d\theta}\) i to mnie stopuje.
a biegunowe dają mi m.in. \(\displaystyle{ \int_{}^{} r ^{2} \sqrt{r ^{2}-4 }dr}\)

[MarkoseK]

Tu się prosi o współrzędne sferyczne:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=r^2}\)
Zaś \(\displaystyle{ \det\Phi'=r^2\sin\theta}\)

Granice:
\(\displaystyle{ 0<r<2\\
0<\theta<\frac{\pi}{2}\\
0<\phi<2\pi}\)

Więc całkujesz ostatecznie funkcję w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{2}r^4\sin\theta dr}\)

[Jajecznica]

A co się stało z tą funkcją podcałkową? \(\displaystyle{ (x ^{2}+y^{2}+z^{2})}\)
Jak podstawiam wsp. sferyczne to mi bajzel się robi i nie mogę tego uprościć...

[MarkoseK]

Ta funkcja to nic innego jak kwadrat długości promienia wodzącego

Jeżeli tego nie widzisz, to wyobraź sobie, że poszedłeś sobie ze środka układu współrzędnych o 3 jednostki po x, 4 jednostki po y oraz 12 jednostek po z i zastanów się jak daleko od środka układu jesteś.