Matematyka.pl

Poszukujaca pisze:A jakie grupy mamy tutaj?

Podejrzewam, że chodzi o \(\displaystyle{ (R,+)}\) i \(\displaystyle{ (R^{\star}, \cdot )}\), ponieważ gwiazdka oznacza tutaj, że jest to zbiór liczb rzeczywiście z wyłączeniem zera.

Tak, takie grupy.

Czyli nie ma homomorfizmu?

Ok, a co w przypadku tego przykładu?

Znajdź dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 2122^{482}}\)

Nie wiemy ile wynosi \(\displaystyle{ 2122^{482}}\), więc nie możemy sprawdzić czy dzieli się przez tę samą liczbę, co \(\displaystyle{ 100}\). Przecież nie mogę podzielić \(\displaystyle{ 2122^{482}}\) przez np. \(\displaystyle{ 4}\), bo musiałbym najpierw pozbyć się potęgi...

A to zadanie?

Niech \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R^{*}, f(x)=ax, a \in Z}\). Czy f jest homomorfizmem grupy? Jeżeli tak, to znajdź jądro i obraz tego homomorfizmu.

Wg mnie nie ma homomorfizmu. Dobrze mi wyszło?

Czy dobrze zrobiłem pierwsze polecenie?

Jako, że mamy \(\displaystyle{ Q \rightarrow Q}\), są to dwie grupy z dodawaniem.

\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ f(x)=ax}\)

\(\displaystyle{ a(x+y)=ax+ay}\)

\(\displaystyle{ ax+ay=ax+ay}\)

f jest homomorfizmem grupy.

Czy ktoś mógłby rozwiązać takie zadanie?

Niech \(\displaystyle{ f: Q \rightarrow Q, f(x)=ax, a \in Z}\). Czy f jest homomorfizmem grupy? Jeżeli tak, to znajdź jądro i obraz tego homomorfizmu.

Dziękuję.

Ale to jest jeden przypadek. Gdy będę miał podstawę 3 albo 121, to już wtedy nie będę mógł się do tego stosować. Występujący w pierwszym poście sposób z metodą Eulera jest uniwersalny i można go stosować dla każdej podstawy. Czy nie ma czegoś podobnego ale dla liczb niewzględnie pierwszych?

Bardzo dziękuję.

Rozwiązanie:

[X^{2}+1] Z_{3}
3 \cdot 3
k=3 \cdot 3
k=9
a^{k-1}=1
a^{9-1}=1
a^{8}=1

[1+X]^{10}=[1+X]^{8} \cdot [1+X]^{2}=[1+X]^{2}=x^{2}+2x+1=2x
[1+2X]^{809}= [[1+2X]^{8}]^{100} \cdot [1+2X]^{8} \cdot [1+2X]=[1+2X]=2x+1

Teraz dobrze?

Mam jeszcze dwa pytania:

1 ...

Robisz innym schematem niż ja w pierwszym poście, a dopiero co go ogarnąłem.

Ale jeśli się nie da Eulerem, to spróbuję zrozumieć twój sposób.

Skąd się nagle wzięły 8 i 125 w drugiej linijce?

Wyżej masz 0 \le r <1000

Tak więc r może wynosić np. 3 i wtedy to co niżej nie jest prawdą. Skąd się ...

Dzięki, ale wiele z tego nie rozumiem. Czy nie dałoby się tego zrobić analogicznie do tego, jak ja w pierwszym poście? Jakoś z rozbiciem na dwa przypadki z modulo(?).

Czyli w zadaniu wyżej powinno być na początku

\(\displaystyle{ NWD(3,1000)=1}\)

zamiast

\(\displaystyle{ NWD(3,14404)=1}\)

?

Jak rozwiązać takie zadanie:

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 2^{14404}}\)

Nie mogę go robić tamtym schematem, bo \(\displaystyle{ NWD(2,14404) \neq 1}\)

Nie mogę poradzić sobie z poniższym zadaniem. Czy mógłby ktoś ocenić moje rozwiązanie?

Oblicz

[1+X]^{10}

i

[1+2X]^{809}

w ciele

Z_{3}/(X^{2}+1)Z_{3}[X]

Rozwiązanie:

[X^{2}+1] Z_{3}
3 \cdot 3
k=3 \cdot 3
k=9
a^{k-1}=1
a^{9-1}=1
a^{8}=1

[1+X]^{10}=[1+X]^{8} \cdot [1+X ...

Bo \(\displaystyle{ 3+i}\) jest różne od zera, tak?

Dziękuję, ale mam jeszcze kilka pytań:

NWD wykładnika i potęgi tej liczby musi być równe jeden?

Używam liczby 1000, bo mam znaleźć 3 ostatnie cyfry? W przypadku 2 ostatnich cyfr mam użyć 100, a w przypadku 5 ostatni cyfr 100000?