Homomorfizm grupy

[Miralem]

Czy ktoś mógłby rozwiązać takie zadanie?

Niech \(\displaystyle{ f: Q \rightarrow Q, f(x)=ax, a \in Z}\). Czy f jest homomorfizmem grupy? Jeżeli tak, to znajdź jądro i obraz tego homomorfizmu.

[Poszukujaca]

Musisz sprawdzić warunek na homomorfizm grupy w grupę, który wygląda następująco:
\(\displaystyle{ (G_{1}, \circ ), (G_{2}, \star )}\) - grupy
\(\displaystyle{ \forall_{a,b \in G_{1}}: f(a \circ b)= f(a) \star f(b)}\)

Zadaj sobie pytanie, co u Ciebie jest grupą pierwszą i grupą drugą oraz jak masz w nich zdefiniowane działania.

[Miralem]

Czy dobrze zrobiłem pierwsze polecenie?

Jako, że mamy \(\displaystyle{ Q \rightarrow Q}\), są to dwie grupy z dodawaniem.

\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ f(x)=ax}\)

\(\displaystyle{ a(x+y)=ax+ay}\)

\(\displaystyle{ ax+ay=ax+ay}\)

f jest homomorfizmem grupy.

[Poszukujaca]

Tak. Właśnie o takie rozumowanie chodzi.-- 31 sie 2015, o 19:23 --Żeby to jeszcze ładniej wyglądało to proponowałabym zapisać tak:
\(\displaystyle{ f( x+y)= a( x+ y)= ax+ ay= f(x)+f(y)}\)

[Miralem]

A to zadanie?

Niech \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R^{*}, f(x)=ax, a \in Z}\). Czy f jest homomorfizmem grupy? Jeżeli tak, to znajdź jądro i obraz tego homomorfizmu.

Wg mnie nie ma homomorfizmu. Dobrze mi wyszło?

[Poszukujaca]

A jakie grupy mamy tutaj?

Podejrzewam, że chodzi o \(\displaystyle{ (R,+)}\) i \(\displaystyle{ (R^{\star}, \cdot )}\), ponieważ gwiazdka oznacza tutaj, że jest to zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera.

Wtedy musiałoby zachodzić \(\displaystyle{ \forall_{x,y \in R}: f(x+y)=f(x) \cdot f(y)}\), co oczywiście prawdą nie jest.

[Miralem]

A jakie grupy mamy tutaj?

Podejrzewam, że chodzi o \(\displaystyle{ (R,+)}\) i \(\displaystyle{ (R^{\star}, \cdot )}\), ponieważ gwiazdka oznacza tutaj, że jest to zbiór liczb rzeczywiście z wyłączeniem zera.

Tak, takie grupy.

Czyli nie ma homomorfizmu?

[Poszukujaca]

Nie.

[a4karo]

Czy dobrze zrobiłem pierwsze polecenie?

Jako, że mamy \(\displaystyle{ Q \rightarrow Q}\), są to dwie grupy z dodawaniem.

\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ f(x)=ax}\)

\(\displaystyle{ a(x+y)=ax+ay}\)

\(\displaystyle{ ax+ay=ax+ay}\)

f jest homomorfizmem grupy.

Ale nie skończyłeś zadania. Było jeszcze pytanie o jądro i obraz.