Obliczenia w ciele

[Miralem]

Nie mogę poradzić sobie z poniższym zadaniem. Czy mógłby ktoś ocenić moje rozwiązanie?

Oblicz

\(\displaystyle{ [1+X]^{10}}\)

i

\(\displaystyle{ [1+2X]^{809}}\)

w ciele

\(\displaystyle{ Z_{3}/(X^{2}+1)Z_{3}[X]}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ [X^{2}+1]}\)\(\displaystyle{ Z_{3}}\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ k=3 \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ k=9}\)
\(\displaystyle{ a^{k-1}=1}\)
\(\displaystyle{ a^{9-1}=1}\)
\(\displaystyle{ a^{8}=1}\)

\(\displaystyle{ [1+X]^{10}=[1+X]^{8} \cdot [1+X]^{2}=[1+X]^{2}=x^{2}+2x+1}\)
\(\displaystyle{ [1+2X]^{809}= [[1+2X]^{8}]^{10} \cdot [1+X]^{8} \cdot [1+X]=[1+X]=x+1}\)

[Medea 2]

Zapis trochę dziwaczny, ale nie czepiam się. W przykładzie pierwszym możesz uprościć odpowiedź do \(\displaystyle{ 2x}\) (bo \(\displaystyle{ x^2 + 1 = 0}\)). W drugim przykładzie pogubiłeś dwójki (\(\displaystyle{ 1+x}\) zamień na \(\displaystyle{ 1+2x}\)) i jedno zero (zamiast dziesiątki powinna być setka), przez co dostałeś zły wynik. Poprawny to \(\displaystyle{ 2x+1}\).

[Miralem]

Bardzo dziękuję.

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ [X^{2}+1]}\)\(\displaystyle{ Z_{3}}\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ k=3 \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ k=9}\)
\(\displaystyle{ a^{k-1}=1}\)
\(\displaystyle{ a^{9-1}=1}\)
\(\displaystyle{ a^{8}=1}\)

\(\displaystyle{ [1+X]^{10}=[1+X]^{8} \cdot [1+X]^{2}=[1+X]^{2}=x^{2}+2x+1=2x}\)
\(\displaystyle{ [1+2X]^{809}= [[1+2X]^{8}]^{100} \cdot [1+2X]^{8} \cdot [1+2X]=[1+2X]=2x+1}\)

Teraz dobrze?

Mam jeszcze dwa pytania:

1. Dlaczego \(\displaystyle{ x^{2}+1=0}\) Czy tylko dlatego, że mamy to wyrażenie \(\displaystyle{ X^{2}+1}\) w ciele? Gdyby było w treści zadania "w ciele \(\displaystyle{ Z_{3}/(X+2)Z_{3}[X]}\)" to wtedy już nie \(\displaystyle{ x^{2}+1=0}\) a \(\displaystyle{ X+2}\) byśmy wykreślali, bo równałoby się \(\displaystyle{ 0}\)?

2. Na początku mam \(\displaystyle{ 3 \cdot 3}\). Czy to dlatego, że \(\displaystyle{ X^{2}}\) to 3 możliwości i wyraz wolny \(\displaystyle{ 1}\) to 3 możliwości, czy może dlatego, że \(\displaystyle{ X}\) to 3 możliwości, a \(\displaystyle{ X^{2}}\) to 9 możliwości?

[Medea 2]

Odpowiedź na pierwsze pytanie: \(\displaystyle{ x^2 + 1 = 0}\) w pierścieniu ilorazowym, ponieważ podzieliłeś przez ideał \(\displaystyle{ (x^2+1)}\) - co za tym idzie elementy różniące się o jego wielokrotność zostały ze sobą utożsamione. Z drugim pytaniem nie mogę sobie dać rady, może ktoś inny Ci pomoże.

[Dasio11]

2. Każdy element \(\displaystyle{ f}\) ciała \(\displaystyle{ \ZZ_3[X]/(X^2+1)}\) można przedstawić w postaci

\(\displaystyle{ f = a + bX + (X^2+1),}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b \in \{ 0, 1, 2 \},}\)

zatem ciało \(\displaystyle{ \ZZ_3[X]/(X^2+1)}\) składa się z \(\displaystyle{ 3 \cdot 3 = 9}\) elementów.

Jest też fakt, który mówi, że dla każdego ciała \(\displaystyle{ F}\) mocy \(\displaystyle{ k}\) i dla każdego \(\displaystyle{ a \in F}\) jest \(\displaystyle{ a^{k-1} = 1.}\)


Stąd wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ f \in \ZZ_3[X]/(X^2+1)}\) jest \(\displaystyle{ f^8 = 1,}\) co dla \(\displaystyle{ f = 1+2X}\) daje \(\displaystyle{ [1+2X]^8 = 1.}\)