Matematyka.pl

Witam serdecznie,
swoją przygodę z matematyką skończyłem niestety jakiś czas temu, wraz z zakończeniem studiów informatycznych. Ostatnimi czasy coraz częściej nachodzi mnie irytacja spowodowana "wywietrzeniem" wiedzy matematycznej, nawet tej elementarnej - licealnej.

Zwracam się do szanownych ...

Obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{dz}{1+z^{2}}}\), gdzie C jest "lewym" półokręgiem skierowanym dodatnio łączycym punkty i oraz -i.

Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \tan z = 2-i}\)

Obliczyć calkę \(\displaystyle{ \int_{C} \overline{z} dz}\), gdzie C jest daną krzywą o początku w punkcie -1 i końcu w punkcie 1:
a) górny łuk okręgu o środku w punkcie -1

Jak w ogóle wygląda ta krzywa bo mam problemy ze zrozumieniem tego...?

1. Znajdz mozliwie duze obszary, na ktorych istnieje \(\displaystyle{ \ln(\ln z)}\).
2. Podac obszary istnienia galezi funkcji \(\displaystyle{ \ln (1+ \sqrt[3]{z})}\).

Czy rozwiazaniami beda \(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus [z, \infty )}\), gdzie \(\displaystyle{ z}\) to "zero" wyrazenia logarytmowanego?

Udowodnic, ze:

\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial \overline {z} z } = \frac{1}{4} \Delta f}\)

Znaleźć obszar w ktorym funkcja \(\displaystyle{ w(z) = \left| x^{2} - y^{2} \right| + 2i \left|xy \right| , z=x+iy}\) jest holomorficzna.

Zbadaj zbieżność szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ } (-1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}}\)

z - liczba zespolona

\(\displaystyle{ \lim_{z\to\infty} \frac{\sin z}{z} , z\in \mathbb{C}}\)

Jak obliczyć taką granice?

Znaleźć kąt obrotu i współczynnik rozciągania (dylatację) funkcji \(\displaystyle{ f(z) = e^{-z}}\) w punkcie \(\displaystyle{ z = i}\).

Co to jest dylatacja? Jak ją obliczyć? A kąt obrotu funkcji? Nie moge nic znalezc na ten temat...

edit:
Jak zamienic \(\displaystyle{ -e^{-i}}\) na postac trygonometryczna?

Dziekuje bardzo i chyle czola - mi obliczenia zajely ponad strone A4 a i tak efektu nie bylo.

\sin ^{4}x = \frac{1}{8}(\cos4x - 4\cos2x + 3)

Wiem ze nalezy rozpisac ( \cos x + i \sin x)^{4} przy pomocy wzoru deMoivre'a, wzoru skroconego mnozenia i porownac czesci rzeczywiste. Niestety potem zaczynaja sie schodzy, bo ilekroc chce uproscic wyrazenie i sprobowac doprowadzic jeden wzor do ...

1. Wyznacz liczbę drzew mających n wierzchołków, w którym dany wierzchołek jest wierzchołkiem wiszącym.

2. Wyznacz liczbę drzew mających n wierzchołków, w którym wierzchołek n ma stopnień n-2.

Sprawdzic, ze zachodzi rownosc:
|s(4, 2)| = C(4, 2)
gdzie s to liczby Stirlinga 1-go rodzaju a C(n, k) to liczba permutacji n-elementowych i k cyklach.

Na ile sposob mozna ulozyc w rzedzie n czerwonych i n-k zielonych klockow, tak aby zadne dwa czerwone nie staly obok siebie?

Moznaby pewnie ustalic jakas bijekcje na ciagi binarne i skorzystac z kombinacji z powtorzeniami, ale nic mi do glowy nie przychodzi