Matematyka.pl

Nie istnieje coś takiego jak ogólna, standardowa definicja klasy funkcji. Określa się tak czasami specyficzne typy funkcji o określonych własnościach, np. mówi się o klasie funkcji całkowalnych, różniczkowalnych, mierzalnych, wymiernych, trygonometrycznych itp., ale trudno to nazwać definicją - w ...

Też mnie zastanowiło jak Damieux doszedł do wniosku, że dla nieparzystego p dostaniemy liczbę złożoną. Może takie stwierdzenie bez uzasadnienia pojawiło się w "oficjalnym rozwiązaniu" zadania i Damieux początkowo przyjął je za prawdziwe, po czym sam je obalił kontrprzykładem. Chociaż z drugiej ...

Istnieją, przykład został już wskazany.

Dodatkowa, banalna obserwacja: dla p=5 lub p=7 mamy redukcję do "czworaczków".

W ogólnym przypadku mamy tutaj koniunkcję dwóch niezależnych problemów, z których oba są na dzień dzisiejszy nierozstrzygnięte:

- czy liczb pierwszych czworaczych jest ...

Jeśli podchodzimy do sprawy w ten sposób, to owszem, ale wtedy w ogóle nie ma sensu mówić o rozwinięciach skończonych.

Nie każda. Zero ma tylko jedno, skończone rozwinięcie dziesiętne.

Taka liczba x nie istnieje.

Dowód:

Zauważmy, że do takiej trójki nie mogą należeć jednocześnie liczby x-\sqrt{2} i x+\sqrt{2} . Gdyby liczba x-\sqrt{2} była całkowita, to liczba x musiałaby być niewymierna. Skoro jednak obie liczby x-\sqrt{2} i x+\sqrt{2} mają być całkowite, to i ich suma równa 2x ...

Trywializuję, ale skoro ma być dowolny dzielnik naturalny, to bardzo proszę: \(\displaystyle{ 1}\).

Przykro mi, ale nie jestem w stanie zrozumieć co masz na myśli pisząc o "jedynym słusznym rozwiązaniu". Uważasz, że wynik zmieni się jeśli zgadniesz współczynniki zamiast wyliczyć je z układu równań, czy może sugerujesz, że to wyrażenie ma więcej niż jedną wartość? Co ma udowodnić to mnożenie przez ...

Przecież Jan Kraszewski już podał prawidłowe "zwinięcie" obu wyrażeń podpierwiastkowych do kwadratu sumy/różnicy, wystarczy spierwiastkować i zsumować.

Teoria liczb

1. Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ n^{2} + 1 }\)?
2. Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ p_{1} \cdot\ldots\cdot p_{n} + 1 }\), gdzie \(\displaystyle{ p_{k}}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-tą liczbą pierwszą?

Każda liczba postaci n!+10 dla n \ge 19 posiada żądaną własność.

Dowód: łatwo zauważyć, że każda z liczb: n!+10,\ldots, n!+19 jest dla n \ge 19 liczbą złożoną (co oznacza, że zamiana cyfry jedności w liczbie n!+10 na dowolną inną da nam również liczbę złożoną). Ponieważ n!+10 dla n \ge 19 dzieli ...

Tak, moja konstrukcja niestety nie była optymalna.

W takim razie f\left(n \right) =n dla n=1,2 i f\left( n\right) = \frac{n^{2}-3n+8}{2} dla n \ge 3 .

Szkic rozumowania dla n \ge 3 : jedna z prostych ma przechodzić przez dokładnie n punktów, więc zaczynamy od n współliniowych punktów. Od razu widać, że musimy uzupełnić tę wstępną konfigurację o ...

Jeśli dobrze rozumiem treść zadania, to:

- dla n=1 lub n=2 : f(n)=n

Oczywiście dla dowolnie wybranego punktu płaszczyzny istnieje prosta, która przez niego przechodzi. Również dla dowolnych 2 punktów istnieją zarówno takie proste, które przechodzą przez dokładnie 1 z nich, jak i taka, która ...

Nie zdążyłem pierwszy, ale oto mój alternatywny dowód.

Przypuśćmy, że taka funkcja f istnieje i rozważmy 2 przypadki:

1) f jest różnowartościowa

Wtedy dla pewnego i \in \left\{ 1, \dots, n\right\} musiałoby zachodzić: \left| \vec{ f^{-1} }\left( i\right) \right| \gt f\left( i\right) = n , czyli ...