Matematyka.pl

Udowodniej, że każdego dodatniego, całkowitego \(\displaystyle{ k}\) istnieje całkowite dodatnie \(\displaystyle{ n_k}\) takie, że:

\(\displaystyle{ ( \sqrt{3} - \sqrt{2})^k= \sqrt{n_k} - \sqrt{n_k-1}}\)

Wpiszmy czworościan w równoległościan. Oczywistym jest, że równoległościan ma objętość trzy razy większą niż czworościan w niego wpisany.


Zauważmy, że:
\frac{AB \cdot CD}{2} = \frac{C_1D_1 \cdot CD}{2}= 2CX \cdot XC_1


P_{CC_1DD_1}=CX \cdot XC_1 \cdot sin \sphericalangle CXC_1 +XC_1 \cdot ...

Pisze ktoś z gimnazjalistów jutro humana, czy przełożyliście na czerwiec?
Ja idę na żywioł, bez powtarzania
Powodzenia wszystkim, do zobaczenia na finale!

[...]
| l_1=3, k_1=2, l_{n+1}=(3l_n+4k_n)^2, k_{n+1}=(2l_n+3k_n)^2. |
[...]
| l_1=1, k_1=1, l_{n+1}=(3l_n+4k_n)^2, k_{n+1}=(2l_n+3k_n)^2. |


Te kwadraty są nie halo powinno być:
l_1=3, k_1=2, l_{n+1}=(3l_n+4k_n), k_{n+1}=(2l_n+3k_n).

l_1=1, k_1=1, l_{n+1}=(3l_n+4k_n), k_{n+1}=(2l_n+3k_n ...

Zadanie nie jest rozwiązane. Należy je udowodnić w obydwie strony.

Bardzo duża podpowiedź:

6.
Z CS w formie E. mamy:
\sum_{i=1}^{5} \frac{x_i}{x_{i+1}+2x_{i+2}+3x_{i+3}+4x_{i+4}} \ge \frac{(x_i +x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4})^2}{5 \sum_{1 \le i<j \le 5}^{}x_ix_j }
Wystarczy udowodnić
\frac{(x_i +x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4})^2}{5 \sum_{1 \le i<j \le 5}^{}x_ix_j } \ge \frac{1}{2 ...

Udowodnić, że ułamek nieskracalny \(\displaystyle{ \frac{k}{l}}\), gdzie \(\displaystyle{ k,l \in N}\) jest sumą kwadratów dwóch liczb wymiernych wtedy i tylko wtedy, gdy każda z liczb k i l jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

\(\displaystyle{ k^2-16=l^5}\)
\(\displaystyle{ (k-4)(k+4)=l^5}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ (k-4,k+4)>1.}\)
\(\displaystyle{ d|k-4}\)i \(\displaystyle{ d|k+4}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow d|8}\), czyli d=1, sprzeczność.
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ k-4=a^5}\) i \(\displaystyle{ k+4=b^5}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b \in N}\)
Stąd \(\displaystyle{ b^5 - a^5 = 8}\), tu już można sprawdzić, że nie ma rozwiązań w liczbach N nieparzystych.

Czy gdzieś jest błąd??

Największy żart i kuriozum w moim życiu - więcej puntów na OM niż na OMG
Ucięli mi plani do 0 za jeden głupi błąd, nie że się skarżę, raczej jestem załamana moją złą kondycją - a kysz, a kysz ode mnie!

Edit, nawe nie błąd, ale brak uzasadnienia, które to uzasadnienie pojawiło się później.

Strasznie niski próg. Na OMG mi nie poszło (nigdy tak źle nie napisałam żadnego konkursu), przynajmniej finał na "otarcie łez".

SchmudeJanusz, zrobiłeś błąd przy podnoszeniu do kwadratu.

Bardzo dziękuję

Potrzebuję dla kogoś rozwiązanie równania różniczkowego rzędu drugiego:

y"+y'=x
jest to równanie niejednorodne

1. y"+y'=0 równanie jednorodne
rozwiązując równanie kwadratowe:
r^2+r=0
r=0 \vee r=-1
stąd
y_{0}=C_{1}+C_{2}e^{-x}

2. y_{*}=ax+b

y'_{*}=a

y''_{*}=0

po podstawieniu mamy ...

zadanie 2(chyba)

Korzystając z następujących zależności
4R+r= r_{a}+r_{b}+r_{c} i r= \frac{S}{s} oraz r_{a}= \frac{2S}{b+c-a} otrzymujemy:
\sqrt{s^2-3 \cdot \frac{S}{s}( r_{a}+r_{b}+r_{c})}= \sqrt{s^2-3 \cdot \frac{S}{s} \cdot \frac{s}{4S} (2(ab+bc+ca) -a^2-b^2-c^2)} (wzór Herona) = \sqrt{ a^2+b ...