[Teoria liczb] Prosta teoria liczb

[mariolawiki1]

Udowodnić, że ułamek nieskracalny \(\displaystyle{ \frac{k}{l}}\), gdzie \(\displaystyle{ k,l \in N}\) jest sumą kwadratów dwóch liczb wymiernych wtedy i tylko wtedy, gdy każda z liczb k i l jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

[Errichto]

W jedną stronę trywialne:    

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2}+ \frac{c^2}{d^2}= \frac{(ad)^2+(bc)^2}{(bd)^2} \\k=(ad)^2+(bc)^2\\l=(bd)^2+0^2}\)

[Marcinek665]

W teorii liczb \(\displaystyle{ 0}\) średnio jest liczbą całkowitą A najlepiej niech ktoś sprecyzuje.

[SaxoN]

Oj marcinku... nie tak Cię uczyłem \(\displaystyle{ 0}\) nie jest naturalne, ale nie da się ukryć, że całkowite jest

[Marcinek665]

W zasadzie tego wcale nie uczyłeś

[mariolawiki1]

Zadanie nie jest rozwiązane. Należy je udowodnić w obydwie strony.

Bardzo duża podpowiedź:

Ukryta treść:    

Liczbę naturalną n można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na czynniki nie występują liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) w potędze nieparzystej.

[TomciO]

W ramach czepialstwa: dowód tej jednej implikacji i tak nie jest do końca poprawny, bo skąd wiadomo, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{(ad)^2 + (bc)^2}{(bd)^2}}\) jest nieskracalny?