[MIX] Kilka zadanek

[justynian]

Ostatnio coś wieje nudą więc wrzucę kilka zadanek:

1. Rozwiąż w całkowitych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-3d^2=1 \\ b^2-3e^2=-3\\2ab-6de=0\\2ac+a-6df=1\\2bc+b-6ef=0\\c^2+c-3f^2=0 \end{cases}}\)

2. Rozwiąż w całkowitych:
\(\displaystyle{ x^2+x-2y^2=0}\)

3. Pewien prymitywny organizm nazwijmy go licealistą rozmnaża się bezpłciowo. Pierwszych 4 potomków wydaje po 2 miesiącach od własnych narodzin a następnie co miesiąc ma 6 nowych potomków, każdy licealista umiera po wydaniu 28 potomków. Zakładając że dysponujemy 1 licealistą nowo narodzonym wyznacz wzór na liczbę licealistów po n miesiącach.

4. Rozwiąż w liczbach rzeczywistych:
a) \(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2}=4x^3-3x}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+x^2y=y \\ 2y+y^2z=z\\2z+z^2x=x \end{cases}}\)

5. Mając dane liczby rzeczywiste x,y,z,t spełniające układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=t \\ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{z}= \frac{1}{t} \\x^3+y^3+z^3=1001^3 \end{cases}}\),
wyznacz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x+y+z+t}\).

6. Udowodnij że dla każdych dodatnich \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_5}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{5} \frac{x_i}{x_{i+1}+2x_{i+2}+3x_{i+3}+4x_{i+4}} \ge \frac{1}{2}}\)

7. Udowodnij że dla dodatnich a,b,m:
\(\displaystyle{ (1+ \frac{a}{b})^m+(1+ \frac{b}{a})^m \ge 2^{m+1}}\)

[chechlacz]

7.

Ukryta treść:    

Z nierówności między średnimi:
\(\displaystyle{ (1+ \frac{a}{b})^m+(1+ \frac{b}{a})^m \ge 2\sqrt{(1+\frac{a}{b})^m(1+\frac{b}{a})^m} \ge 2 \sqrt{(2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^m} \ge 2\sqrt{4^m} = 2 \sqrt{(2^m)^2} = 2*2^m=2^{m+1}}\)

[ordyh]

5.

Ukryta treść:    

Z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ t(xy+yz+zx)=xyz}\), niech \(\displaystyle{ a = -(xy+yz+zx)}\).
Rozpatrzmy wielomian \(\displaystyle{ W(u) = (u-x)(u-y)(u-z) = u^3-tu^2-au+at = u^2(u-t)-a(u-t) = (u-t)(u^2-a)}\).
Przyjmijmy b.s.o., że \(\displaystyle{ x=t}\), \(\displaystyle{ y=\sqrt{a}}\), \(\displaystyle{ z=-\sqrt{a}}\).
Stąd wstawiając do 3. równania dostajemy \(\displaystyle{ t^3 = 1001^3}\), czyli \(\displaystyle{ x=t=1001}\).
Pozostaje zauważyć, że jeżeli \(\displaystyle{ x=1001}\), to równanie jest spełnione dla dowolnych niezerowych liczb spełniających \(\displaystyle{ y=-z}\). Uwzględniamy jeszcze permutacje trójek i mamy wynik.

[mariolawiki1]

6.

Ukryta treść:    

Z CS w formie E. mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{5} \frac{x_i}{x_{i+1}+2x_{i+2}+3x_{i+3}+4x_{i+4}} \ge \frac{(x_i +x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4})^2}{5 \sum_{1 \le i<j \le 5}^{}x_ix_j }}\)
Wystarczy udowodnić
\(\displaystyle{ \frac{(x_i +x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4})^2}{5 \sum_{1 \le i<j \le 5}^{}x_ix_j } \ge \frac{1}{2}}\)
Po wymnożeniu i przekształceniach otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (x_1-x_2)^2+(x_1-x_3)^2 + itd. \ge 0}\)

2.

Ukryta treść:    

Po przekształceniu mamy:
\(\displaystyle{ x(x+1)=2y^2}\)
Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ x= 2x_1}\)
Równanie ma postać:
\(\displaystyle{ x_1(2x_1+1)=y^2.}\)
\(\displaystyle{ (x_1, 2x_1+1) = 1}\), więc \(\displaystyle{ x_1 = k^2}\) i \(\displaystyle{ 2x_1 +1 = l^2}\). Wynika z tego, że \(\displaystyle{ l^2 - 2k^2 =1}\). Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań zawartych w ciągu :
\(\displaystyle{ l_1=3, k_1=2, l_{n+1}=(3l_n+4k_n)^2, k_{n+1}=(2l_n+3k_n)^2.}\)
Rozważmy teraz przypadek \(\displaystyle{ x = 2x_1 -1}\)
Równanie ma wtedy postać:
\(\displaystyle{ x_1(2x_1-1)=y^2.}\)
\(\displaystyle{ (x_1, 2x_1-1)=1}\). Stąd \(\displaystyle{ x_1 = k^2, 2x_1-1=l^2}\) i \(\displaystyle{ l^2 - 2k^2 = -1}\). Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań zawartych w ciągu :
\(\displaystyle{ l_1=1, k_1=1, l_{n+1}=(3l_n+4k_n)^2, k_{n+1}=(2l_n+3k_n)^2.}\)
mam nadzieję, że jest w porządku..

[timon92]

4 a

Ukryta treść:    

hint: \(\displaystyle{ x= \sin \xi}\)

[justynian]

[...]
|\(\displaystyle{ l_1=3, k_1=2, l_{n+1}=(3l_n+4k_n)^2, k_{n+1}=(2l_n+3k_n)^2.}\)|
[...]
|\(\displaystyle{ l_1=1, k_1=1, l_{n+1}=(3l_n+4k_n)^2, k_{n+1}=(2l_n+3k_n)^2.}\) |

Te kwadraty są nie halo powinno być:
\(\displaystyle{ l_1=3, k_1=2, l_{n+1}=(3l_n+4k_n), k_{n+1}=(2l_n+3k_n).}\)

\(\displaystyle{ l_1=1, k_1=1, l_{n+1}=(3l_n+4k_n), k_{n+1}=(2l_n+3k_n).}\)

[timon92]

4 b

Ukryta treść:    

hint: \(\displaystyle{ x=\tg \xi}\)

[mariolawiki1]

[...]
|\(\displaystyle{ l_1=3, k_1=2, l_{n+1}=(3l_n+4k_n)^2, k_{n+1}=(2l_n+3k_n)^2.}\)|
[...]
|\(\displaystyle{ l_1=1, k_1=1, l_{n+1}=(3l_n+4k_n)^2, k_{n+1}=(2l_n+3k_n)^2.}\) |

Te kwadraty są nie halo powinno być:
\(\displaystyle{ l_1=3, k_1=2, l_{n+1}=(3l_n+4k_n), k_{n+1}=(2l_n+3k_n).}\)

\(\displaystyle{ l_1=1, k_1=1, l_{n+1}=(3l_n+4k_n), k_{n+1}=(2l_n+3k_n).}\)

Oczywiście, dzięki

[justynian]

Idzie całkiem sprawnie od siebie dodam że zadanie 1 to nie żadna podpucha

[adamm]

hint 4a'

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sin 3 \xi = 3 \sin \xi - 4 \sin^3 \xi}\)

[Sylwek]

Zadanie 1:    

Odpowiedź mnie nieco zdziwiła . Myślałem, że uzyskam szybką sprzeczność i nijak się nie udawało.

Widzimy tu kilka mniej lub bardziej narzucających się równań Pella. To będzie miało co nieco wspólnego z rozwiązaniem. Pobawmy się niektórymi równaniami:
- (2): b musi być podzielne przez 3, więc podstawmy: \(\displaystyle{ (*): b=3x}\), (2) wygląda wówczas: \(\displaystyle{ e^2-3x^2=1}\), czyli bardzo podobnie do (1)
- zauważmy, że równanie (6) też można podobnie zwinąć: \(\displaystyle{ c^2+c=3f^2 \iff 4c^2+4c+1=12f^2+1 \iff (2c+1)^2 = 12f^2+1}\). Podstawmy \(\displaystyle{ (**): 2c+1=y}\) oraz \(\displaystyle{ (***): 2f=z}\). Po tych podstawieniach, co by oszczędzić czasu, przepiszę układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2-3d^2=1 \\ e^2-3x^2=1 \\ y^2-3z^2=1 \\ ax=de \\ xy=ez \\ ay-3dz=1 \end{cases}}\)

Trochę pozmieniałem kolejność, więc zainteresowanym zostawiam sprawdzenie obliczeń. Z równań (1),(2),(3) wynika od razu, że \(\displaystyle{ (a,d)=(e,x)=(y,z)=1}\). Stąd z (4) mamy: \(\displaystyle{ x|de \Rightarrow x|d}\), podobnie \(\displaystyle{ d|ax \Rightarrow d|x}\), stąd \(\displaystyle{ x=d \vee x=-d}\), a stąd też odpowiednio: \(\displaystyle{ a=e \vee a=-e}\).

Podobnie korzystając z (5) dostajemy: \(\displaystyle{ x=z \vee x=-z}\), a stąd też odpowiednio: \(\displaystyle{ e=y \vee e=-y}\)

Zatem mamy \(\displaystyle{ a=y \vee a=-y}\), a stąd też odpowiednio: \(\displaystyle{ d=z \vee d=-z}\), jednak druga opcja prowadzi nas do powstania w równaniu (6) wyrażenia: \(\displaystyle{ a^2-3d^2=-1}\), co stoi w sprzeczności z (1).

Zatem są cztery przypadki, gdzie różnicą jest tylko "znak" pewnych zmiennych \(\displaystyle{ (w,q \ge 0)}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}(d,x,z)=(q,q,q) \\ (a,e,y)=(w,w,w) \end{cases} \vee \\ \begin{cases}(d,x,z)=(q,-q,q) \\ (a,e,y)=(w,-w,w) \end{cases} \vee \\ \begin{cases}(d,x,z)=(-q,q,-q) \\ (a,e,y)=(-w,w,-w) \end{cases} \vee \\ \begin{cases}(d,x,z)=(-q,-q,-q) \\ (a,e,y)=(-w,-w,-w) \end{cases}}\)

Wszystkie cztery sprowadzają się do rozwiązania tego samego równania Pella w liczbach nieujemnych i wzięcia liczb z odpowiednim znakiem: \(\displaystyle{ w^2 - 3q^2=1}\), na końcu trzeba powrócić do zestawu zmiennych \(\displaystyle{ (a,b,c,d,e,f)}\). Jednak to już (poza rozwiązaniem równania Pella) kształcące w ogóle nie jest, co najwyżej męczące.

A że fajnie jednak jakieś wyniki otrzymać, podam przykładowe rozwiązanie (oczywiście sam tego nie liczyłem ): \(\displaystyle{ a=97, b=-168, c=48, d=56, e=-97, f=28}\).

Za wszelkie literówki z góry przepraszam - jak widać, miałem sporo okazji się pomylić.

[justynian]

Gratki za to że w ogóle zrobiłeś bo większości nie chce się robić nie standardów, zauważyłem że z twojego rozwiązania łatwo zrobić naturalne bo znak przy b i e można jednocześnie zmienić, najmniejszym rozwiązaniem naturalnym jakie znalazłem jest \(\displaystyle{ a=7, b=12, c=3, d=4, e=7, f=2}\), prawdopodobnie jest to w ogóle najmniejsze rozwiązanie w całkowitych dodatnich.

[Sylwek]

Ogólnie znając wartość np. \(\displaystyle{ f}\) można wyznaczyć pozostałe liczby (co do znaku), jeśli trzymamy się liczb całkowitych dodatnich to rzeczywiście \(\displaystyle{ f=2}\) jest najmniejszą taką liczbą, przy której mamy rozwiązania całkowite dodatnie. Co ciekawe, gdy wrzuciłem to do Mathematicy jako układ na liczbach rzeczywistych, to wszystkie liczby były (co do znaku) jednoznacznie wyznaczone przez jedną z nich, np. \(\displaystyle{ (a,b,d,e,f)=funkcja(c)}\). Stąd wniosek, że można było to też "przepałować" i jedno z równań wynika z pozostałych pięciu

[justynian]

Rzeczy samej także doszedłem do tego że rozwiązań będzie nieskończenie wiele jednak ni jak nie widziałem i nadal nie dostrzegam jak tu sprowadzić jedno z nich do innego ale to już sobie zostawiam na wolą chwile, zostało już tylko 3 zadanko.

[norwimaj]

3.

Niestety chyba nie ma ładnego wyniku i też nie zamierzam tego rozwiązania doprowadzić do końcowego wyniku.

Ukryta treść:    

Liczba świeżaków (nowo narodzonych licealistów) po \(\displaystyle{ n}\) miesiącach wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ a_n=4a_{n-2}+6a_{n-3}+6a_{n-4}+6a_{n-5}+6a_{n-6}.}\)

Warunki początkowe w zadaniu to \(\displaystyle{ a_0=1, a_{-1}=0, a_{-2}=0,\ldots}\)

Zatem w celu rozwiązania zadania należy znaleźć wszystkie rozwiązania \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6}\) równania

\(\displaystyle{ x^6-4x^4-6x^3-6x^2-6x-6=0}\).

Wolfram alpha twierdzi że cztery z nich będą zespolone. W ogólności te rozwiązania nie muszą wyrażać się przez pierwiastniki. Nie wiem jak jest w tym przypadku.

Wynik będzie postaci
\(\displaystyle{ a_n=C_1x_1^n+\ldots+C_6x_6^n}\),

gdzie \(\displaystyle{ C_k}\) to stałe, jakie należy dobrać na podstawie warunków początkowych.

Liczba licealistów po \(\displaystyle{ n}\) miesiącach to \(\displaystyle{ a_n+a_{n-1}+\ldots+a_{n-5}}\)

-- 8 kwi 2011, o 16:13 --Oczywiście z tego co napisałem nie wynika, że nie istnieje ładne rozwiązanie do 3, więc może jeszcze ktoś coś wymyśli.