Matematyka.pl

Z przyjemnością zapraszamy wszystkich studentów matematyki (i nie tylko) na Ogólnopolską Konferencję Studentów Matematyków θβℓιcℤε 2014 , która odbędzie się w dniach 9-11 maja 2014 r. (piątek - niedziela) na Wydziale Matematyki i Informatyki UAM w Poznaniu. Dotyczyć ona będzie matematyki we ...

Bardziej "konkursowe" w stylu Pawłowskiego jest np. "Putnam & Beyond" Andreescu, "Berkley Problems in Mathematics", "The Red book of Mathematical Problems", "The Green book of Mathematical Problems", "Gabor J. Szekely - Contests in Higher Mathematics: Miklos Schweitzer Competitions" i różne ...

W tym roku stypendium dostało 78 z trochę ponad 200 osób zaczynających matematykę ("trochę" więcej niż 10%). Punkty są chyba liczone jak przy rekrutacji, z tym że wiele osób wypada z rankingu (drugi kierunek).

Nie jestem pewien, ale wiele może się zmienić w przyszłym roku, bo w tym roku (o ile się ...

Niech
c=\prod_{i=1}^{n}(a_j+b_i)
dla j=1,2,..., n.
Rozważmy wielomian:
W(x)=(x+b_1)(x+b_2)\cdot ... \cdot (x+b_n)-c

Oczywiście W(a_j)=0 dla j=1,2,..., n, więc a_1, a_2, ..., a_n są wszystkimi pierwiastkami W i jako że W jest unormowany to:
W(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdot ... \cdot (x-a_n)=(x+b_1)(x ...

Skoro nikt jeszcze nie przedstawił dowodu do IMO4, to pokażę swój (ale nie krępujcie się, chętnie zobaczę coś lepszego)
Niech:
K_{ij}=\sum_{1 \le k,l \le n; \quad k \neq i, l \neq j}(a_{ij}+a_{kl}-a_{il}-a_{kj})^2

(sumujemy po wszystkich k,l różnych od i,j)
Wtedy:
\left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j ...

W siódmym a oraz b nie mogą być zerowe, nie? (kontrprzykład: a=3, b=0, x=3, y=1)
ax+by \equiv 0 \pmod{a^2+b^2}

Mamy:
ab(x^2+y^2) = ax \cdot bx + ay \cdot by \equiv (-by) \cdot bx + (-ax) \cdot ay \equiv -xy (a^2+b^2) \equiv 0 \pmod{a^2+b^2}
czyli a^2+b^2|ab(x^2+y^2)

gdyby te liczby były ...

Czy obliczanie granic funkcji, pochodnych funkcji i całek może się przydać na OM?

Jak najbardziej nie (hmm, do Jensena i sprawdzania wypukłości czasem 2ga pochodna, ale w rzeczywistości to się rzadko przydaje). Ewentualnie czasem na olimpiadzie fizycznej trzeba coś scałkować.

Co Ci się na 100 ...

W kółku Pawłowskiego udowadniało się to bodajże minimami funkcji, ale mnie zastanawiało zawsze, jak zrobić to klasycznie :P W końcu kiedyś tam znalazłem:

Z Cauchy'ego-Schwarza:
(\sum (a_i -b_i))^2 \le (\sum \frac{(a_i-b_i)^2}{a_i+b_i}) (\sum (a_i+b_i)) \quad (*)

Ponadto:
(\sum a_i)(\sum b_i ...

Rozłóżmy wielomian z^{2001}-1 na czynniki liniowe ():
z^{2001}-1=(z-1)(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_{2000})
Z drugiej strony, możesz skorzystać ze wzoru na różnicę potęg 2001-szych:
z^{2001}-1=(z-1) \cdot (??)
Porównując obydwie formy W(x), stwierdzasz, że
(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_{2000})=??
i wystarczy ...

Pamiętam to zadanie też mi się wydawało łatwe, ale takie banalne to znowu ono nie jest (moim zdaniem)... Pochodzi z Tournament of Towns Fall 2004, Senior-A Level.
Link do stronki Tournament of Towns, jest tam bardzo wiele zadań: http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/archives.php
Link do rozwiązania ...

Niech \alpha(n) oznacza ilość liczb niebezwadratowych (podzielnych przez kwadrat jakieś liczby pierwszej), mniejszych od n. Załózmy nie wprost, że dla pewnego m naturalnego oraz dowolnego naturalnego x mniejszego od m przynajmniej jedna z liczb x, m-x jest niebezkwadratowa. Oznaczałoby to, że ...

Zgodnie z treścią zadania:
a+b=c+d+e (1)
a^2+b^2+c^2=d^2+e^2 (2)
Załóżmy nie wprost, że obie z liczb a,b nie są złożone (czyli są pierwsze lub równe 1).
Podnieśmy równanie (1) stronami do kwadratu:
a^2+2ab+b^2=c^2+d^2+e^2+2cd+2ec+2de
Odejmijmy teraz równanie (2) stronami od równania (3):
2ab-c ...

oficjalnych odpowiedzi dla drugiej edycji konkursu jeszcze nie ma, zapewne pojawią się po zakończeniu całego konkursu. część rozwiązań znajdziesz na forum w temacie: Wielkopolska Liga Matematyczna
w razie pytań lub jakbyś szukał rozwiązań innych zadań z ligi, pisz do mnie na PW lub tym temacie

Załóżmy, że |z_1|=|z_2|=|z_3|=1 (zadanie da się łatwo sprowadzić do tego przypadku).Wtedy:
z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1z_2z_3(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3})=z_1z_2z_3\overline{(z_1+z_2+z_3)}=0

Rozpatrzmy wielomian W(x) o pierwiastkach z_1, z_2, z_3 :

W(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)=x^3-(z ...

Moje rozwiązania wyglądały tak:
W dowodzie skorzystamy z (dość znanego) twierdzenia Liouville'a o aproksymacji diofantycznej:

Jeśli \alpha jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu f stopnia n > 0 o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista A > 0 taka, że dla ...