[Teoria liczb] Rozkład liczby całkowitej dodatniej na sumę.

[Burii]

Pokaż że każda liczba całkowita dodatnia większa od 2 może być zapisana jako suma dwóch bezkwadratowych liczba całkowitych dodatnich.

[ElEski]

Burii,
A \(\displaystyle{ 1}\) ? Bezkwadratowe to chyba takie, które nie są kwadratami?
Przy przypadku \(\displaystyle{ 1}\) nawet nie obchodzi mnie definicja liczby bezkwadratowej, bo 1 nie może być sumą dwóch dodatnich całkowitych.

[Django]

Najprościej modulo 8
Mianowicie: każda liczba całkowita dodatnia przystaje 0 lub 1 lub 2... lub 7 modulo 8
Wiemy, że liczba jest kwadratem liczby całkowitej gdy przystaje 0,1 lub 4 modulo 8. Zatem, gdy liczbą, którą chcemy zapisac jako sumę jest liczba podzielna przez 8, to bierzemy a+b, gdzie \(\displaystyle{ a \equiv 5 \ (mod 8)}\) i \(\displaystyle{ b \equiv 3 \ (mod 8)}\). To po zsumowaniu daje \(\displaystyle{ a+b \equiv 0 \ (mod 8)}\). Dla liczby, która ma dawac resztę 1 bierzemy liczby a i b przystające odpowiednio 6 i 3. Dla dającej reszte 2 liczby 7 i 3. Dla 3 liczby 5 i 6, dla 4 liczby 7 i 5, dla 5 liczby 2 i 3, dla 6 liczby 3 i 3, dla 7 liczby 5 i 2. Dosyc duży skrót myślowy - chodzi o to, że w zdaniu dla 3 liczby 5 i 6 mamy: dla liczby, która ma byc żądaną sumą 3 jest jej resztą modulo 8, a liczby 5 i 6 to liczby dające reszty 5 i 6 modulo 8.
Jest to jasne?
Pzdr
Edit: Burii, rzeczywiście trzeba by tę tezę troche przeformułowac - najlepiej dodac, że chodzi o liczby większe niż 2. Wtedy kilka przypadków trzeba sprawdzic ręcznie, ale to generalnie żaden problem.

[Burii]

Wybaczcie

[KPR]

Hej, hej!
Liczba bezkwadratowa to nie taka, co nie jest kwadratem, tylko taka co nie dzieli się przez żaden kwadrat liczby pierwszej!

[Burii]

Słuszna uwaga:D.

[jgarnek]

Hint 1:    

Niech \(\displaystyle{ \alpha(n)}\) oznacza ilość liczb niebezwadratowych (podzielnych przez kwadrat jakieś liczby pierwszej), mniejszych od n. Załózmy nie wprost, że dla pewnego m naturalnego oraz dowolnego naturalnego x mniejszego od m przynajmniej jedna z liczb x, m-x jest niebezkwadratowa. Oznaczałoby to, że \(\displaystyle{ \alpha(m) > ....}\)- trzeba pokazać, że tak nie jest....

Hint 2:    

Spróbujmy oszacować \(\displaystyle{ \alpha(n)}\)- zauważmy, że liczbami niebezkwadratowymi są wszystkie liczby mniejsze od n i podzielne przez 4, 9, 25, 49, ... itd. W najlepszym wypadku liczb niebezkwadratowych jest: ilość podzielnych przez 4 mniejszych od n + podzielnych przez 9 mniejszych od n +.... (suma dla kwadratów wszystkich liczb pierwszych; w rzeczywistości "najlepszy wypadek" nie zajdzie, bo są liczby podzielne ZARÓWNO przez 4, jak i 9). Dostaniemy nieskończoną sumę, którą znowu trzeba oszacować od góry...

Hint 3:    

Szacujemy sumę:
-opuść podłogi,
-zamień sumowanie z liczb pierwszych na wszystkie nieparzyste + 1/4
-wiesz ile wynosi suma kwadratów odwrotności wszystkich liczb nieparzystych?

\(\displaystyle{ S=\sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}\)
-to jest fakt "nieskończenie znany", spróbuj z tego wyprowadzić sumę kwadratów odwrotności wszystkich liczb nieparzystych.(Nieskończona suma nie powinna cię przerazić, bo dowód jest prosty.)

Hint 4:    

\(\displaystyle{ S= \sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n^2}= \sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{(2n)^2}+
\sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n^2}+
\sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{1}{4}S+\sum_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{(2n-1)^2}}\)

Trzeba to złożyć do kupy i powinno działać -"mała hipoteza goldbacha"