Matematyka.pl

Witam,
Mam do rozwiązania następujące zadanie:
Wiadomo, że wielkość dziennego popytu na pożyczki w pewnej firmie ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 4 . Obserwowano ten popyt przez 10 dni i otrzymano \overline{X}=24,4 .
a) podać realizację przedziału ufności dla wartości oczekiwanej ...

ZAD.
Dany jest ciąg (X_{n})_{n \ge 1} niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla n \ge 1 zmienna X_{n} ma rozkład wykładniczy z parametrem ln(n+1) . Rozstrzygnąć, czy ciąg: \frac{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}, n=1,2,... jest zbieżny prawie na pewno. Jeśli tak, to wyznaczyć jego granicę ...

Zadanie:
Rzucamy kostką, aż do momentu wypadnięcia piątki i parzystej liczby oczek (łącznie, niekoniecznie pod rząd). Wyznaczyć wartość oczekiwaną liczby rzutów.

Do zadania została dana wskazówka: niech X oznacza liczbę rzutów. Warto obliczyć najpierw \mathbb{P}(X \ge k) dla k=1,2....

Ja ...

Zad:
Dana jest zmienna losowa \(\displaystyle{ X^}\)
a) Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ X \in L^{2}}\), (\(\displaystyle{ X \in L^{p} \Leftrightarrow \mathbb{E}|X|^{p}<\infty}\)) to \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}t\mathbb{P}(|X| \ge t)=0}\)
b) Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ X \in L^{1}}\), to \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}t\mathbb{P}(|X| \ge t)=0}\)

Z góry dziękuję za pomoc

ZAD:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest całkowalna. Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ t>0}\),
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X-|\mathbb{E}X| \ge t) \le \frac{\mathbb{E}|X|}{t}}\)

Z góry dziękuję za pomoc

Na powierzchni walca \{(x,y,z): x^{2}+y^{2}=1, 0<z<1\} leży zbiór A , mierzalny względem miary \sigma_{2} . Dla każdej liczby t \in (0,1) określamy: A_{t}=\{(x,y,z) \in A: z<t \} , f(t)=\sigma_{2}(A_{t}) .
Dowieść, że:
\int_{0}^{1}f(t)dt=\iint_{A}(1-z)d\sigma_{2} .
uwaga: d\sigma_{2} oznacza to ...

a mógłby ktoś w takim razie podpowiedzieć jak ten łuk sparametryzować? bo niestety tego nie widzę...

Niech C będzie zorientowanym łukiem krzywej:
\{(x,y,z): y+z=5x^{2}, yz=4x^{4}, y \le z\} mającym początek w punkcie (-2,4,16) , a koniec w punkcie (1,1,4) .
Obliczyć całkę \int_{C} (x+\sqrt{z})dy+(x+\sqrt{y})dz .

Jeśli to możliwe, to prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku, gdyż temat jest mi dość ...

ZAD:
Wykaż, że ||uv^{T}||_{2}=||u||_{2}||v||_{2} gdzie u,v \in \mathbb{R}^{n}

Zwątpiłem, czy dobrze się do tego zabieram, bo bardzo łatwo podać kontrprzykład: mianowicie weźmy wektor u który ma na pierwszej współrzędnej jedynkę, a poza tym zera oraz wektor v , który ma na drugiej współrzędnej ...

ZADANIE:
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne, przy czym \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Bernoulliego \(\displaystyle{ B(10,\frac{1}{3})}\), a \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ B(15,\frac{1}{3})}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X+Y}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

Zadanie:
Zmienna losowa X mam standardowy rozkład normalny. Pokazać, że |X| i \frac{X}{|X|} są niezależne.

Gęstość zmiennej |X| wyszła mi g_{1}(x)=\frac{2e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{\pi}}
Z kolei dla zmiennej \frac{X}{|X|} wydaje się że rozkład będzie skumulowany w dwóch punktach.

I niestety totalnie ...

ZAD:
Niech A \subset \mathbb{R}^{3} będzie zbiorem mierzalnym, ograniczonym, leżącym w półprzestrzeni z>0 ; niech m=\lambda_{3}(A) - trójwymiarowa miara zbioru A .
Punkt (a,b,c) Jest środkiem ciężkości zbioru A . Dane są liczby 0< \alpha < \beta . Dla t \ge 0 niech f(t) oznacza miarę (\lambda_{3 ...

ZAD.
Funkcja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} klasy C^{2} spełnia warunek f''(x)>\frac{1}{1+x^{2}} . Pokazać, że f nie ma asymptoty.

Wskazówka: Można przyjąć f(0)=f'(0)=0 . Przypuśćmy, że prosta y=ax-b jest asymptotą (przy x \rightarrow \infty ). Pokazać, że wówczas: a=\int\limits_{0}^{\infty}f ...

Rzeczywiście, to ładnie wychodzi z Fubiniego, ale czy całkowalność \(\displaystyle{ \varphi}\) też tak oczywiście wynika? bo tego niestety nie widzę.

ZAD:
Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją całkowalną (względem jednowymiarowej miary Lebesgue'a).
Określmy:
\(\displaystyle{ \varphi(y)=\int_{y}^{y+1}f(x)dx}\)
Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) też jest całkowalna oraz że: \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\varphi=\int_{\mathbb{R}}f}\)

Z góry dziękuję za pomoc.