Wykazać, że funkcja jest całkowalna

Fredi · Post autor: **Fredi** » 12 mar 2012, o 16:37

ZAD:
Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją całkowalną (względem jednowymiarowej miary Lebesgue'a).
Określmy:
\(\displaystyle{ \varphi(y)=\int_{y}^{y+1}f(x)dx}\)
Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) też jest całkowalna oraz że: \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\varphi=\int_{\mathbb{R}}f}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

Post autor: **luka52** » 12 mar 2012, o 17:04

Przy liczeniu \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\varphi}\) zmień kolejność całkowania.

Fredi · Post autor: **Fredi** » 12 mar 2012, o 18:54

Rzeczywiście, to ładnie wychodzi z Fubiniego, ale czy całkowalność \(\displaystyle{ \varphi}\) też tak oczywiście wynika? bo tego niestety nie widzę.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 mar 2012, o 20:23

Nie wgłębiałem się w szczegóły, ale patrzę na to jako na funkcję typu funkcja górnej granicy całkowania. Oczywiście nie ta parafia, bo to całka Lebesgue'a, ale zawsze warto brać skądś intuicję. Dla całki Riemanna funkcja górnej granicy całkowania jest ciągła, a więc całkowalna.