Matematyka.pl

Witam,
Mam problem z udowodnieniem, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left( \frac{\arctan (nx)}{\pi} +\frac{1}{2} \right)^n = e^{-\frac{1}{\pi x}}}\)

Jak to rozwiązać? Nie mam nawet pomysłu, jak zacząć, może z tw. o 3 ciągach?

...tak, to banalne, ale oczywiście tego nie zauważyłem, dzięki

Nakahed90 pisze: Wygląda to na literówkę

Nie, tutaj ,

Witam.
Analizuję rozwiązanie zadania aktuarialnego i kompletnie nie rozumiem tej linijki:

\frac{d}{dx}\int\limits_{0}^{\infty}t e^{-\delta t} {}_tp_x \mu_{x+t}dt=\int\limits_{0}^{\infty}t e^{-\delta t} {}_tp_x(\mu_x- \mu_{x+t})dt + \int\limits_{0}^{\infty}t e^{-\delta t} {}_tp_x \underline{\frac{d ...

Witam,
Zaczynam naukę matematyki ubezpieczeń na życie i mam problem z bardzo prostym zadaniem:

2. Na osobę w wieku x lat wystawiono bezterminową polisę na życie która w momencie śmierci wypłaca 160pln. Dalsze trwanie życia x latka wyraża funkcja gęstości:
f(t)=\frac{t+10}{6000}, t \in [0,100 ...

W metodzie najmniejszych kwadratów jak sama nazwa wskazuje chodzi o to, aby dobrać takie współczynniki równania, aby suma kwadratów odchyleń \sum\limits_{i=1}^n\epsilon_i^2=\sum\limits_{i=1}^n(\hat{Y}_i-Y_i) była jak najmniejsza. Z racji tego, że ta suma jest funkcją współczynników a nie danych(dane ...

Witam,
Mam problem z zadaniem z marcowego egzaminu aktuarialnego:
Niech X_1, X_2, \dots, X_{n+1} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale (0,\theta) . Parametr \theta > 0 jest nieznany i jest realizacją zmiennej losowej o rozkładzie o gęstości p(\theta ...

Witam,

Mam problem, bo po raz kolejny mam zadanie w którym szukane rozwiązanie jest postaci:

\(\displaystyle{ X\simeq F(10, 6), \\
\text{rozwiązanie}=P(X<1)}\)

Czy jest jakaś prosta metoda policzenia tego? Czy konieczne są długie rachunki z funkcją gęstości f-snedecora?

Trzeba zauważyć, że rozkład ilości potomków pod warunkiem, że znamy ilość jajeczek \(\displaystyle{ (X| X_1)}\) jest znany (Rozkład Bernoulliego \(\displaystyle{ \BB (n,p)}\)), więc \(\displaystyle{ \EE(X|X_1)=np}\)

\(\displaystyle{ \EE X=\EE \EE (X| X_1)=\EE np = p \EE n = \lambda p}\)

Znalazłem rozwiązanie, to zadanie było na egzaminie aktuarialnym:
Nie wygląda na prostsze

Tylko w sumie jest błąd. Po za tym jest ok, przynajmniej, dla tych przypadków:

a)
X, Y \simeq Geo(p)
P(X+Y=k)=\sum\limits_{y=0}^k P(X=y) P(Y=k-y)=\sum\limits_{y=0}^k p(1-p)^{y-1}p(1-p)^{k-y-1}=\left( \frac{p}{1-p} \right)^2\sum\limits_{y=0}^k (1-p)^{k}=kp^2(1-p)^{k-2}
b)
f_{X+Y}(k)=\int\limits ...

Skorzystaj z tych wzorów:
\(\displaystyle{ P(X+Y=k)=\sum\limits_{y=0}^k P(X=k) P(Y=k-y)}\)
\(\displaystyle{ f_{X+Y}(k)=\int\limits_0^k f_X(x) f_Y(k-x)dx}\)

Pewnie da się łatwiej, ale ja robię to tak:

Oznaczmy:
U = \overline{X}- \mu \frac{\sqrt{n}}{\sigma} \simeq N(0,1)
V = \overline{Y}- \mu \frac{\sqrt{m}}{\sigma} \simeq N(0,1)
P(\frac{|U|\sigma}{\sqrt{n}}>\frac{|V|\sigma}{\sqrt{m}})=&P(\frac{U^2}{n}>\frac{V^2}{m})=
P(\frac{U^2}{V^2}>\frac{100 ...

Witam,
mam zapisane, że funkcja charakterystyczna rozkładu jednostajnego wynosi:

\varphi_X(w)=\int\limits_5^7 \frac{1}{2} e^{iwx} dx = \frac{sin(w)}{w}

Jakie własności trygonometryczne trzeba wykorzystać do policzenia tego? Bo na razie utknąłem w etapie:
\varphi_X(w)= \dots = \frac{1}{2} \left ...

To akurat uwzględniłem, ma gęstość

\(\displaystyle{ f_{min}(t)=n(1-t)^{n-1}}\)