Matematyka.pl

www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=361688

Q.

\(\displaystyle{ k^2+k+1 = k(k-1) +2k +1 = k^{\underline{2}}+2k^{\underline{1}}+k^{\underline{0}}}\)

A w ogólności przydaje się ostatnia uwaga w linkowanym poprzednio wątku.

Q.

timus221 pisze: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (k ^{2}+k+1)}\)

Wskazówka:
\(\displaystyle{ k^2+k+1=k^{\underline{2}}+2k^{\underline{1}}+k^{\underline{0}}}\)

I dalej łatwo, wystarczy tabelka z 258511.htm

Q.

Ośmiościan foremny, lub jak kto woli - kwadrat plus jeden wierzchołek wewnątrz plus jeden wierzchołek na zewnątrz, a oba te wierzchołki są połączone z wszystkimi wierzchołkami kwadratu.

Q.

W ogólności mogą: 78384.htm

Ale wystarczą .

Q.

Równoważnie:
\(\displaystyle{ \pi\ln \sqrt{12} < \ \sqrt{12} \ln \pi\\
\frac{\ln \sqrt{12}}{\sqrt{12}}< \frac{\ln \pi}{\pi}}\)

Wystarczy więc zbadać monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{\ln x}{x}}\).

Q.

\left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log{\left( \frac{x}{1+x} \right)} \right]= \left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log x + \log (1+x) \right] = \\ =
\left[\log (1+x) + \log x\left( \frac{1}{(1+x)^2} - 1 \right) \right] =
\left[\log (1+x) + \log x^x \cdot \frac{x+2}{(1+x)^2} \right]
i od razu widać ...

Aha, problem jest między innymi taki, że nie wiesz czym jest \(\displaystyle{ 2x_0- U}\).

Definicja jest taka:
\(\displaystyle{ b -A = \left\{ b-a : a\in A \right\}}\)

Q.

Nie umiesz pokazać, że
\(\displaystyle{ x_0\in U \Rightarrow x_0\in (2x_0-U)}\)
?

Q.

No pierwszy wzór nie jest zwarty z definicji, ponieważ liczba operacji zależy od n .

Natomiast w przypadku drugiego wzoru poprawię swoją tezę: ludzkości nic nie wiadomo o tym, że ten wzór jest zwarty, ponieważ nie jest znany wzór zwarty na \genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{2}] (niewykorzystujący wyrażenia H ...

Wszystko zależy od tego co rozumiemy przez wzór zwarty. Cytowana tu Matematyka konkretna podaje, że wyrażenie jest w postaci zwartej jeśli możemy je wyliczyć stosując skończoną, niezależną od n, liczbę "dobrze znanych" działań standardowych .

W tym sensie wzory podane przez a4karo nie są zwarte. A ...

Można też zaburzyć lub zsumować przez części.

Q.

Nie takie straszne te wyniki:
\(\displaystyle{ x' = r(-\sin t - \sin 2t)\\
y' = r(\cos t+\cos 2t)\\
(x')^2+ (y')^2= r^2\left( 2 +2(\cos t \cos 2t + \sin t \sin 2t )\right) = r^2\left(2+2\cos t\right) = 4r^2\cos^2 \frac t2}\)

Q.

Można też zauważyć, że skoro granica mianownika w zerze to zero, a granica licznika w zerze to \(\displaystyle{ f\left( \frac 13\right) +f\left( \frac 23\right)}\), to jedyną możliwością by cały ułamek dążył do zera jest \(\displaystyle{ f\left( \frac 13\right) +f\left( \frac 23\right)=0}\). I dalej łatwo.

Q.

Podstawowy wzór to:
n = k \cdot \left\lfloor \frac nk \right\rfloor + (n \mod k)
i jest on w zasadzie oczywisty, bo k mieści się \left\lfloor \frac nk \right\rfloor razy w n .

Stąd łatwo wynika dla n=y,k=x :
y\mod x = y- x \cdot \left\lfloor \frac yx \right\rfloor
(i ten wzór można uogólnić też ...