dowód własności modulo

[TrzyRazyCztery]

Witam, potrzebuję do dowodu pewnego lematu, mianowicie:
\(\displaystyle{ \left( -y\right) mod x =\left\lceil \frac{x}{y} \right\rceil \cdot x - y}\)
Intuicyjnie widze że to prawda, ale czy da sie to wyprowadzić korzystając z jakiś znanych własności i przekształceń?

[Premislav]

A co np. dla \(\displaystyle{ x=3,y=2}\)?
Czy może chodziło jednak o równość modulo, a nie o to, że reszta z dzielenia przez x tego po lewej jest równa temu po prawej? Tylko wtedy jest to boleśnie oczywiste, gdyż \(\displaystyle{ \left\lceil \frac{x}{y} \right\rceil \cdot x}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ x}\), dlatego zdziwiłaby mnie taka treść lematu.
Czy mógłbyś napisać słowo w słowo, jak ten lemat w oryginale wygląda?

[TrzyRazyCztery]

Przepraszam, literówka, chodzilo o \(\displaystyle{ \left( -y\right) mod x =\left\lceil \frac{y}{x} \right\rceil \cdot x - y}\) To jest lemat który sam sobie wymyslilem, ale znajac życie to jakoś wprost wyniika z definicji albo jest to jakąś własnością modulo której ja aktualnie nie pamiętam.

[Qń]

Podstawowy wzór to:
\(\displaystyle{ n = k \cdot \left\lfloor \frac nk \right\rfloor + (n \mod k)}\)
i jest on w zasadzie oczywisty, bo \(\displaystyle{ k}\) mieści się \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac nk \right\rfloor}\) razy w \(\displaystyle{ n}\).

Stąd łatwo wynika dla \(\displaystyle{ n=y,k=x}\):
\(\displaystyle{ y\mod x = y- x \cdot \left\lfloor \frac yx \right\rfloor}\)
(i ten wzór można uogólnić też na liczby rzeczywiste).

Jeśli teraz w miejsce \(\displaystyle{ y}\) podstawimy \(\displaystyle{ -y}\), to z oczywistej tożsamości \(\displaystyle{ \left\lfloor -t\right\rfloor = - \left\lceil t\right\rceil}\) otrzymujemy Twój lemat.

Q.

[TrzyRazyCztery]

Idealnie o to mi chodziło, dziekuje serdecznie za pomoc